13  Функции нескольких переменных

1. Определение. Если каждой паре (x,y) значений двух независимых переменных из области W ставится определенное значение z, то говорят, что z есть функция двух переменных (x,y).
   

   z=f(x,y)
2. Геометрическое изображение функции двух переменных - поверхность.
3. Частное и полное приращение функции.
   Полное приращение функции
   

   Dz=f(x+Dx, y+Dy)-f(x,y)

   Частное приращение функции
   

   Dx z=f(x+Dx)-f(x,y)

   
   

   Dy z=f(x,y+Dy)-f(x,y)

   Вообще, полное приращение функции не равно сумме частных приращений.
   Пример. z=xy.
   

   Dx z=(x+Dx)y-xy=yDx

   
   

   Dy z=x(y+Dy)-xy=xDy

   
   

   Dz=(x+Dx)(y+Dy)-xy=yDx+xDy+DyDx № Dy z+Dx z.
4. Непрерывность функции нескольких переменных
   Предел функции.
   Пусть z=f(x,y) определена в некоторой окрестности A(x₀,y₀).
   Определение. Постоянное число b называют пределом z=f(x,y) при P(x,y) стремящемся к A, если для любого e > 0 можно указать такое значение d > 0, что для всех x, удовлетворяющих неравенству |AP| < d, имеет место неравенство |f(x,y)-b| < e.
5. Непрерывная функция
6. Частные производные