Теорема о концах векторов скоростей точек неизменяемого отрезка

Теорема. Концы векторов скоростей точек неизменяемого отрезка твердого тела при плоском движении лежат на одной прямой и делят ее на отрезки пропорциональные расстояниям между точками. Доказательство. Рассмотрим отрезок AC. Точки A, B, C удовлетворяют условию теоремы - лежат на неизменяемом отрезке. Надо доказать, что точки a, bў, cў, являющиеся концами векторов скоростей - V   A  , - V   B  , - V   C  лежат на одной прямой и abў/bўcў=AB/BC. Возьмем точку A за полюс. Тогда для скоростей точек тела при плоском движении имеем - V   B  = - V   A  + - V   BA  , - V   C  = - V   A  + - V   CA  При этом вращательные компоненты перпендикулярны AB и VBA = wAB, VCA = wCA. Выполним следующее геометрическое построение. Построим вектор - V   B  и конец вектора пометим точкой bў. Через точки a и b проведем прямую и найдем точку cў пересечения этой прямой с перпендикуляром ccў, восстановленным из конца вектора - V   A  , являющегося составной частью - V   C  . По построению точки a, bў, cў лежат на одной прямой. Точки a и bў являются концами векторов скоростей. Если доказать, что cў также является концом вектора скорости - V   C  , то теорема будет доказана. Очевидно, прямоугольные треугольники abbў и accў подобны. Кроме того, ac=AC как стороны параллелограмма. С одной стороны ccў/ca = bbў/ab откуда ccў = (bbў/ab)ca = (wab/ab) CA = wCA. С другой VCA = wCA. Сопоставляя два последних равенства, получаем, что точка cў является концом вектора - V   C  . Второе утверждение теоремы abў/bўcў = AB/BC вытекает сразу из условия подобия треугольников. Теорема часто используется для геометрической проверки решения задачи о скоростях точек механизма. Аналогичная теорема существует и для ускорений.