Знакопеременные ряды

1  Знакопеременные ряды

Дирихле
Теорема. (Дирихле) Если ряд сходится абсолютно, то ряд полученный из него перестановкой членов, также сходится и имеет ту же сумму.
Риман
Теорема. (Римана). Если ряд сходится условно, то для любого числа A можно найти такую перестановку членов ряда, что после перестановки получится ряд, имеющий своей суммой это число A или получить расходящийся ряд.
Пример. Рассмотрим ряд Лейбница
1 - 1
2
 + 1
3
 - 1
4
 + ... = Ґ
е
n=1 
 (-1)n+1 1
n

S=1 - 1
2
 + 1
3
 - 1
4
 + 1
5
 - 1
6
 ... = 1 - 1
2
 - 1
4
 + 1
3
 - 1
6
 - 1
8
 + 1
5
 - 1
10
 - 1
12
 ...
Попарно сложим члены ряда
S= 1
2
 - 1
4
 + 1
6
 - 1
8
 + 1
10
 - 1
12
 + ... = 1
2
 ж
и 		1 - 1
2
 + 1
3
 - 1
4
 + 1
5
 - 1
6
 ... ц
ш 		= 1
2
 S.


File translated from TEX by TTH, version 3.64.
On 11 Mar 2005, 07:50.