Оптическое свойство эллипса

Оптическое свойство эллипса

Касательная эллипса образует в точке касания равные острые углы с фокальными радиусами.
Доказательство. Уравнение эллипса
x2
a2
 + y2
b2
 =1.

Эллипс, касательная и фокальные радиусы
Рис. 1
Для получения уравнения касательной продифференцируем
2x
a2
 + 2yyў
b2
 =0.
Вектор, лежащий на касательной,
®
t
 
 = {a2y, -b2x, 0}
Вектор O1A
®
O1A
 
 = {c+x,y,0}
Вектор AO2
®
AO2
 
 = {c-x,-y,0}
Используя скалярное произведение, вычислим
cosa =
(
®
t
 
 ,
®
O1A
 
 )
a+ex
 ,
где e = c/a - эксцентриситет. Аналогично
cosb =
(
®
t
 
 ,
®
AO2
 
 )
a-ex
 .
Докажем
cosa = cosb
Получим
a2y(c+x)-b2xy
a+xe
 = a2y(c-x)+b2xy
a-xe
Преобразуем, получим
a3xy-ab2xy-a2xyec=0
Сократим на axy, подставим e = c/a, получим тождество
a2-b2-c2=0