Вопросы к экзамену по высшей математике 30.12.08 и 15.1.09
Окончательный вариант будет опубликован 19 декабря

    Анализ
  1. Числа. Необходимость существования иррациональных чисел. Доказать, что Ц2 нельзя представить в виде рациональной дроби.
  2. Свойства модуля. Метод математической индукции.
  3. Три вида алгебраических функций.
  4. Полярная система координат. Спираль Архимеда. Спираль логарифмическая. Спираль гиперболическая. Кардиоида. Лемниската.
  5. Переменная величина. Предел переменной величины. Числовая последовательность. Предел числовой последовательности.
  6. Основные теоремы о пределах числовой последовательности. Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности.
  7. Теорема о пределе монотонной ограниченной числовой последовательности.
  8. Определение предела функции в точке. Основные теоремы о пределе функции в точке.
  9. Бесконечно малые функции. Сравнение бесконечно малых функций, эквивалентность бесконечно малых функций. Вычисление пределов с использованием эквивалентных бесконечно малых функций.
  10. Первый замечательный предел.
  11. Второй замечательный предел. Число e.
  12. Непрерывность функции в точке. Непрерывность элементарных функций.
  13. Функции, непрерывные на отрезке. Основные теоремы
  14. Производная. Непрерывность и дифференцируемость. Правила дифференцирования функций.
  15. Производные сложной, обратной, параметрически заданной и неявной функций.
  16. Гиперболические функции y=sh(x), y=ch(x). Определение. Графики y=sh(x), y=ch(x). Обратные гиперболические функции.
  17. Уравнение циклоиды.
  18. Производная сложно степенной функции. Пример. Дифференциал.
  19. Формула Лейбница. Формула Лейбница для производной n-го порядка от произведения двух функций.
  20. Нормаль. Уравнение нормали. Касательная. Уравнение касательной.
  21. Теорема Ролля.
  22. Теорема Лагранжа.
  23. Теорема Коши.
  24. Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей.
  25. Дифференциал функции первого порядка. Инвариантность формы первого дифференциала.
  26. Асимптоты графика функции.
  27. Формула Тейлора. Остаточный член в форме Лагранжа.
  28. Формула Тейлора для основных элементарных функций.
  29. Вторая производная функции, заданной параметрически.
  30. Выпуклость, вогнутость, точки перегиба графика функции. Наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке.
  31. Необходимое и достаточное условия существования локального экстремума функции одной переменной.
  32. Касательная к графику функции.
  33. Кривизна, радиус кривизны кривой. Кривизна параметрически заданной кривой.
  34. Кривизна, радиус кривизны кривой. Переходная кривая.
  35. Эволюта и два ее свойства.
  36. Эвольвента. Эвольвента окружности.
  37. Комплексные числа. Геометрический образ комплексного числа. Модуль и аргумент числа. Сопряженные числа. Арифметические действия. Возведение чисел в степень и извлечение корней.
  38. Тригонометрическая и экспоненциальная форма комплексных чисел. Модуль и аргумент числа. Формула Л. Эйлера. Формула А. Муавра.
  39. Интерполяционный полином Лагранжа
  40. Функции многих переменных. Определение. Частное и полное приращение функции.
  41. Предел функции многих переменных. Непрерывность функции.
  42. Частные производные. Дифференциал первого порядка.
  43. Частные производные сложной функции. Производная по направлению. Градиент.
  44. Формула Тейлора для функции нескольких переменных.
  45. Максимум и минимум функции нескольких переменных. Необходимые условия экстремума. Критические точки. Минимакс.

    46. Алгебра, геометрия
  46. Мaтрицы. Действия над матрицами. Матричная форма записи линейных уравнений.
  47. Определитель. Свойства определителей.
  48. Правило Крамера решения системы линейных уравнений.
  49. Обратная матрица. Условие существования. Решение системы уравнений методом обратной матрицы.
  50. Теорема Кронекера-Капелли. Всегда ли совместна однородная система? Когда однородная система линейных уравнений имеет единственное решение? Когда однородная система линейных уравнений имеет нетривиальное решение?
  51. Метод Гаусса решения системы линейных уравнений.
  52. Скалярное и векторное произведение. Норма вектора. Угол между векторами.
  53. Площадь треугольника и объем тетраэдра.
  54. Уравнение прямой в плоскости. (5 вариантов).
  55. Уравнение прямой и плоскости в пространстве.
  56. Решение геометрических задач с использованием свойств скалярного и векторного произведения (угол между плоскостями, расстояние между прямыми и т.п.).
  57. Эллипс. Определение. Свойства. Построение. Директриса, фокальный параметр. Эксцентриситет. Расстояние от точки эллипса до фокусов.
  58. Эллипс. Построение эллипса с использованием его параметрического представления. Максимальная и минимальная кривизна эллипса. Соотношение размеров эллипса и его эволюты.
  59. Гипербола. Определение. Свойства. Построение. Параметрические уравнения гиперболы. Директриса, фокальный параметр. Эксцентриситет. Расстояние от точки эллипса до фокусов. Асимптоты.
  60. Парабола. Определение и уравнение параболы. Оптическое свойство параболы. Построение параболы.
  61. Уравнение эллипса, гиперболы и параболы в полярных координатах(4 и 8 гр.)
  62. Линейный оператор. Матрица оператора. Определение собственных значений и собственных векторов.
  63. Приведение кривых 2-го порядка к каноническому виду. (4 гр)
  64. Центр кривой второго порядка. (4 гр)
  65. Сопряженные диаметры эллипса. (4 гр)