Колебания системы с 2 степенями свободы
(По учебнику Тарга С.М. "Краткий курс теоретической механики", § 150)
Для малых колебаний
|
T = |
1
2
|
(a11 |
Ч
q
|
2
1
|
+2a12 |
Ч
q
|
1
|
|
Ч
q
|
2
|
+a22 |
Ч
q
|
2
2
|
) |
|
|
P = P0+ |
1
2
|
(c11q12+2c12q1 q2+c22q22) |
|
aij, cij - инерционные и квазиупругие коэффициенты.
Используем уравнения Лагранжа 2-го рода
|
|
d
dt
|
|
¶T
|
- |
¶T
¶q1
|
= - |
¶P
¶q1
|
, |
|
|
|
d
dt
|
|
¶T
|
- |
¶T
¶q2
|
= - |
¶P
¶q2
|
. |
|
Получим
|
a11 |
ЧЧ
q
|
1
|
+a12 |
ЧЧ
q
|
2
|
+ c11 q1+ c12 q2 = 0, |
|
|
a12 |
ЧЧ
q
|
1
|
+a22 |
ЧЧ
q
|
2
|
+ c12 q1+ c22 q2 = 0. |
|
Решение ищем в виде
|
q1=Asin(kt+a), q2=Bsin(kt+a), |
|
получим
|
(c11-a11k2)A+(c12-a12k2)B=0, |
|
|
(c12-a12k2)A+(c22-a22k2)B=0. |
|
Нетривиальное решение для A и B однородной системы возможно, если коэффициенты
системы пропорциональны (определитель равен 0):
|
- |
c11-a11k2
c12-a12k2
|
= - |
c12-a12k2
c22-a22k2
|
= |
B
A
|
|
|
Обозначим B/A = n - коэффициент формы.
Отсюда получаем уравнение частот
|
(c11-a11k2)(c22-a22k2) = (c12-a12k2)2 |
|
В результате получим две совокупности решений
|
q1(1) = A1sin(k1t+a1), q2(1) = n1A1sin(k1t+a1), |
|
|
q1(2) = A2sin(k2t+a2), q2(2) = n2A2sin(k2t+a2). |
|
Общее решение
|
q1 = A1sin(k1t+a1) + A2sin(k2t+a2), |
|
|
q2 = n1A1sin(k1t+a1) + n2A2sin(k2t+a2). |
|
|