Изменение моментов инерции при повороте осей координат По книге А.Горшкова, В. Трошина, В.Шалашилина. Сопротивление материалов. 2002.
Поворот осей против часовой стрелки
Изменение моментов инерции при повороте осей координат. Положение главных осей инерции
Поворот осей на угол a
u = Od + de = zcosa+ ysina,

v = ac - ce = ycosa- zsina.
Моменты инерции в новых осях
Ju = у
х

F 
 v2 dF = у
х

F 
 (ycosa- zsina)2 dF =

= cos2a у
х

F 
 y2 dF - 2sinacosa у
х

F 
 zy dF + sin2a у
х

F 
 z2 dF =

= Jzcos2a- 2Jzysinacosa+ Jysin2a.

Jv = Jzsin2a+ 2Jzysinacosa+ Jycos2a.

Juv = (Jz - Jy)sinacosa+ Jzy(cos2a- sin2a).
Преобразуем, используя формулы
cos2a= 1
2
 (1 + cos2a),  sin2a = 1
2
 (1 - cos2a),

Ju = 1
2
 (Jz + Jy) + 1
2
 (Jz - Jy)cos2a- Jzysin2a,

Jv = 1
2
 (Jz + Jy) - 1
2
 (Jz - Jy)cos2a+ Jzysin2a,

Juv = 1
2
 (Jz - Jy)sin2a+ Jzycos2a.
При
tg 2a0 = - 2Jzy/(Jz - Jy)
Juv обращается в 0.
Для определения a* приравниваем нулю производные
dJu
da
 = 0,  dJv
da
 = 0

-(Jz - Jy)sin2a* - Jzycos2a* = 0.

tg 2a* = - 2Jzy/(Jz - Jy)

sin2a* = tg2a*/
Ц
 
1 + tg22a*
 
 ,  cos2a* = 1/
Ц
 
1 + tg22a*
 

sin2a* = Jzy/   ж
Ц
1
4
 (Jz - Jy)2
 
 + Jzy2

cos2a* = 1
2
 (Jy - Jz)/   ж
Ц
1
4
 (Jz - Jy)2 + Jzy2
 
Минимальный и максимальный моменты инерции
J* = 1
2
 (Jy + Jz) ±   ж
Ц
1
4
 (Jz -Jy)2 + Jzy2
 


File translated from TEX by TTH, version 3.64.
On 02 Apr 2006, 13:53 специально для А1402 (МЭИ)