Прямой изгиб. А.Горшков, В.Трошин, В.Шалашилин
8.2. Геометрия деформаций и нормальные напряжения
при чистом изгибе

8.2.1. Сначала изучим простейший случай изгиба — прямой чистый изгиб балки постоянного сечения. В таком состоянии балка будет находиться, если она изгибается приложенными к ее торцам одинаковыми моментами M и при этом ее деформированная ось остается в плоскости действия моментов (рис. 8.25). Нетрудно методом сечений убедиться, что Mz постоянен по длине балки.
Прямой
чистый изгиб балки

Выделим элемент
балки

Более того, напряженно-деформированное состояние балки также однородно по длине (кроме, конечно, прилегающих к торцам зон Сен-Венана, где распределение напряжений зависит от конкретного способа приложения моментов M к торцам).

Возьмем произвольное сечение A балки. Двумя симметричными относительно него сечениями C и C1 выделим элемент балки (рис. 8.26). Этот элемент симметричен относительно сечения A и нагружен симметрично, поэтому он должен и деформироваться симметрично. Следовательно, при деформации сечение A как плоскость симметрии останется плоским и нормальным к деформированной оси бруса.

А так так сечение A выбрано произвольно, то такие же выводы можно сделать и относительно любого сечения балки. Итак, при чистом изгибе поперечные сечения бруса остаются плоскими и нормальными к деформированной оси балки.

Если балка имеет переменное сечение, то выделенный из нее элемент уже не будет симметричным. Поэтому его деформация будет сложнее. Но эксперименты показывают, что при плавном изменении сечения балки характер ее деформирования мало отличается от картины деформирования балки постоянного сечения. Поэтому можно принять так называемую гипотезу плоских сечений, предполагающую, что при изгибе поперечные сечения балки остаются плоскими и нормальными к ее деформированной оси. Автором этой гипотезы является Я. Бернулли (1694). Я. Бернулли

8.2.2. Выделим из балки двумя поперечными сечениями элемент длиной dx и рассмотрим его деформации. На рис. 8.27 деформированное состояние элемента показано штриховыми линиями.
К гипотезе
плоских сечений

Рассматривая балку как состоящую из продольных волокон, замечаем, что верхние ее волокна укоротились, а нижние удлинились. Волокна АВ, которые отделяют сжатые волокна от растянутых, будем называть нейтральными волокнами (на рисунке - штрих-пунктир). После деформации между торцевыми сечениями элемента образуется угол da, а нейтральные волокна искривиляются. Их радиус кривизны обозначен через r. Найдем относительное удлинение ex волокна CD, расположенного на расстоянии y от нейтральных волокон:

ex = CD-CўDў

CD
= - dx -(r-y)da

dx
= rda-(r-y)da

rda
= - y

r
Здесь CўDў - длина дуги. Учтено, что CD = АВ, а АВ = dx = rda. Знак «—» учитывает, что волокно CD укорачивается. Полученное соотношение
ex = - y

r
(8.2.1)

является математическим выражением гипотезы плоских сечений при изгибе балки в плоскости xy. Так как изгиб прямой, то все волокна, расположенные на расстоянии y от нейтральных, имеют одинаковую деформацию ex = -y/r. Теперь, чтобы перейти от деформаций к напряжениям, будем считать, что каждое продольное волокно балки при изгибе находится в состоянии одноосного растяжения. Это равносильно предположению, что в продольных сечениях балки при изгибе не возникает нормальных напряжений, или, как иногда говорят, продольные волокна друг на друга не давят. Поэтому такое предположение называют гипотезой о ненадавливаемости продольных волокон. Фактически нормальные напряжения в продольных сечениях балки возникают, но они малы по сравнению с sx и ими можно пренебречь. Принятая гипотеза при линейно-упругой деформации позволяет связать нормальные напряжения в поперечном сечении sx с деформациями продольных волокон ex соотношением закона Гука для одноосного растяжения:

sx = Eex.
(8.2.2)
Учитывая гипотезу плоских сечений (8.2.1), получаем, что sx распределяются по поперечному сечению линейно: (8.2.3)
sx = -Ey/r.
(8.2.2)
Линейный характер распределения нормальных напряжений в сечении балки показан на рис. 8.28.
Распределение нормальных напряжений
8.2.3. Чтобы связать sx и Mz, воспользуемся соотношением
Mz = - у
х


F 
ysxdF,
(8.2.4)
в котором Mz подсчитан как равнодействующий момент относительно оси z элементарных продольных усилий sx dF (рис. 8.29). Подставив в это соотношение sx по (8.2.3), получаем
Mz = E

r
у
х


F 
y2dF = EJz

r
,
(8.2.5)
Напоминаем, что Jz=тF y2dF - осевой момент инерции сечения балки F. Соотношение (8.2.5) устанавливает связь между кривизной оси балки 1/r, жесткостью балки на изгиб EJz и изгибающим моментом Mz
1

r
= Mz

EJz
.
(8.2.6)
А после исключения из (8.2.3) [1/(r)] получаем формулу, связывающую sx и Mz:
sx = - Mzy

Jz
(8.2.7)

С помощью этой формулы мы могли бы найти нормальные напряжения sx в сечении балки по определенному методом сечений изгибающему моменту Mz. Однако нам пока неизвестно положение нейтральных волокон, от которых отсчитывается расстояние y. Найдем его, учитывая, что при чистом изгибе продольная сила N равна нулю. Но N можно подсчитать как равнодействующую элементарных продольных усилий sx dF в соответствии с разд. 2.3 (см. рис. 8.29):

N = у
х


F 
sxdF,
(8.2.8)
Подставив сюда (8.2.7) и приняв N = О, получим
N = у
х


F 
sxdF = - у
х


F 
y Mz

Jz
dF = - Mz

Jz
у
х


F 
ydF = Mz

Jz
Sz=0
(8.2.9)
Отсюда ясно, что так как статический момент Sz равен нулю, то ось z является центральной осью сечения. Учтем теперь, что при изгибе в плоскости xy изгибающий момент My равен нулю. Но в соответствии с разд. 2.3 (см. рис. 8.29)
My = у
х


F 
zsxdF,
(8.2.10)
Следовательно, с учетом формулы (8.2.7) получаем
My = у
х


F 
zsxdF = - у
х


F 
z Mzy

Jz
dF = - Mz

Jz
у
х


F 
yzdF = Mz

Jz
Jyz=0
(8.2.11)
Таким образом, при прямом изгибе в плоскости xy оси z и y должны быть такими, чтобы центробежный момент инерции Jzy был равен нулю, т.е. главными осями сечения. Суммируя полученные результаты, приходим к заключению, что прямой чистый изгиб бруса под действием изгибающего момента Mz происходит только тогда, когда оси z, y являются главными центральными осями сечения. В этом случае нормальные напряжения sx и кривизна нейтральных волокон 1/r определяются выражениями
sx = ± Mzy

Jz
,   1

r
= ± Mz

EJz
,
(8.2.12)
этих формулах введены знаки ±, так как знак в них связан с направлением оси y. На практике по направлению изгибающего момента Mz всегда видно, как искривляется ось бруса и какие волокна сечения растянуты, а какие сжаты, и поэтому можно легко установить нужный знак.



File translated from TEX by TTH, version 3.64.
On 19 Jan 2006, 19:45. специально для студентов МЭИ и МАМИ.