Теория расчета арок издавна занимается вопросами, которые можно разбить по их основному направлению на две группы: 1) вопросы определения усилий, вызываемых внешними воздействиями, — неподвижными нагрузками различных видов и направлений, подвижной нагрузкой, температурой, упругими или неупругими смещениями опор, раскружаливанием или монтажом, а также усилий, вызываемых весом надарочного строения и участием его в работе арки; 2) вопросы рационального подбора очертания оси, величины стрелы подъема и закона изменения поперечных сечений. Вопросам обеих групп посвящена обширная литература.

Вычисление усилий, напряжений, деформаций и перемещений в арках разрабатывалось, можно сказать, исключительно методом сил и притом главным образом аналитически. Сколько-нибудь детальный обзор этой литературы занял бы много места.

П. Т. Михайлов [343а] вывел для арки с коробовой осью, имеющей переменное сечение, формулы распора, изгибающих моментов и поперечных сил, выраженные через два параметра: через отношение пролета к толщине арки в ключе и через отношение моментов инерции поперечных сечений в пяте и в ключе.

В расчете арок нашел себе применение и метод начальных параметров. Н. К. Снитко в [456а] этим методом определял усилия и перемещения в круговой арке от произвольной радиальной нагрузки; В. П. Ручкин [314] при решении задачи о бесшарнирной параболической арке переменного сечения принял за начальные параметры на одном конце статические величины V, H, M и кинематические — перемещения x, y, j

Для круговой арки получено решение [3256] в деформациях при заданных на контуре нормальных и касательных напряжениях. К. С. Завриев в трудах [275а], [276а], [280а], [282а] разобрал ряд вопросов, относящихся к расчету бесшарнирных мостов переменного сечения на разные воздействия — на собственный вес, подвижную нагрузку, регулирование напряжений горизонтальными домкратами, на заданный начальный распор, осадку и перемещение опор, причем исправил и развил известный способ Штрасснера. Он рассмотрел также вопрос о приближенном расчете арок из сборного железобетона.

Уточнению вопросов регулирования напряженного состояния бесшарнирной арки при помощи домкратов или при помощи предварительного напряжения арматуры посвящены работы [301], [3256] и др. Расчет бесшарнирной арки постоянного сечения на внешнюю нагрузку и на неравномерный нагрев при условии, что модуль упругости выражается в функции от температуры алгебраическим многочленом третьей степени, изложен в [161б].

Влияние закона изменения моментов инерции поперечных сечений бесшарнирной арки подвергалось исследованию многими авторами; к числу последних работ относится [361].

Расчету сводов на горизонтальную нагрузку посвящено исследование В. А. Гастева [230а]. Формулы для расчета круговых арок на радиальные, тангенциальные и другие нагрузки выведены методом начальных параметров в статье И. К. Снитко [447а]. Графоаналитический метод расчета арок дан в работе С. Е. Шаволова [491а]. Расчет неразрезных арок на жестких опорах методом фокусов дан в статье А. Ф. Смирнова [442а]. Расчет неразрезных арочных мостов и конструкций изложен также в статье [277] и др. Расчет на нагрузку, перпендикулярную плоскости арки, приведен в работах А. Г. Назарова [347а] и Н. Е. Бондаря [212а].

Для статически неопределимых арок, в особенности для бесшарнирных, большое значение имеет жесткость опор; даже их незначительная податливость серьезно отражается на распределении усилий в арке. Влияние этого фактора рассмотрено в книге А. Смотрова и Б. Беляева [445а], в статье В. А. Киселева [295а], в кандидатской диссертации А. А. Лосаберидзе [324а], в книге [913а]. В последней рассмотрен общий случай: податливость каждой.опоры характеризуется тремя главными перемещениями d_aa, d_bb, d_cc и тремя побочными - d_ab, d_ac, d_bc.

Трудным вопросом при проектировании и расчете мостовых арок остается вопрос о рациональном подборе сечений с учетом совместного действия постоянной и временной (подвижной) нагрузок. До сих пор не существует иного практически приемлемого пути, кроме пользования таблицами и графиками, основанными на численных подсчетах, или ординатами готовых линий влияния, построенных для некоторых частных законов изменения моментов инерции поперечных сечений. Такие справочные таблицы содержатся, как правило, в курсах арочных мостов, например [251 а], или в справочных изданиях, например [288а]. Разумеется, при значительном отступлении формы оси арки или закона изменения поперечных сечений от тех, какие были приняты при составлении таблиц, последними пользоваться нельзя. Попытка более общего анализа влияния основных параметров арки на усилия, вызываемые в ней временной нагрузкой, сделана в [494а].

Предметом ряда исследований являлся вопрос о влиянии надарочного строения на работу арки. Для современных железобетонных мостов, в которых арки отличаются достаточно большой (по сравнению с прежними каменными мостами) гибкостью, а проезжая часть, напротив, имеет значительную жесткость, сквозное надарочное строение, по своей структуре представляющее собой раму, не может рассматриваться только как нагрузка. Оно непосредственно участвует в работе арки, вызывая перераспределение изгибающих моментов и продольных сил.

Учет этого влияния, не являясь трудным в теоретическом отношении, отличается большой трудоемкостью вычислений. Этим исследованиям посвящены работы [251 а, 452а, 345а, 426а, 270а] и др. В последней работе приведены точные способы расчета арочных мостов с учетом совместной работы арок и надарочного строения как при жестком, так и при шарнирном прикреплении концов стоек и показано, что допущение о шарнирном прикреплении, приводящее к значительному упрощению расчета, приемлемо по своей точности. В работе применены взаимно ортогональные эпюры, имеющие вид многоугольников, вписанных в синусоиды или косинусоиды. Работе арочных мостов с надарочным строением посвящены также [219, 253, 256, 279, 305, 295] и др.

Пространственной работе спаренных арок на горизонтальную поперечную нагрузку посвящены работы [282, 2826, 344]. Ю. В. Кротов дал решение общей задачи о расчете на поперечную нагрузку спаренных арок, не имеющих плоскости симметрии, при любом законе изменения жесткостей и любом расположении распорок. В [344] задача о действии поперечной нагрузки на спаренную арку приближенно сведена к расчету пространственной безраскосной фермы с жесткими узлами. Пространственная деформация круговой симметричной арки, нагруженной перпендикулярно ее плоскости и упруго защемленной по концам, освещена в [235].

Работе двухшарнирных и трехшарнирных арочных пролетных строений мостов, усиленных вантами, и влиянию вант на изгибающие моменты, на продольные и поперечные силы посвящена [352], работе гибких арок с балкой жесткости — [490а].

М. Я. Дьяков [365а] выяснил на ряде примеров, на сколько процентов в зависимости от соотношения между моментами инерции арки и проезжей части уменьшаются изгибающие моменты в арке от участия надарочного строения в ее работе.

Перемещения в арочных системах исследовались в [339, 316, 238].

Особой проблемой в теории арочных мостов, а также висячих мостов с балкой жесткости является проблема определения усилий в элементах таких систем с учетом влияния деформаций на изгибающие моменты. Это влияние становится значительным в мостах больших пролетов: изменение формы оси равносильно изменению плеча продольных сил. Дополнительные моменты, вызываемые дополнительными плечами, влекут за собой дополнительную деформацию, а последняя в свою очередь создает дополнительные моменты и т. д. Точное решение задачи наталкивается на значительные трудности. Приближенным ее решениям посвящена за рубежом литература, началом которой можно считать статью Энгессера, опубликованную в Германии в 1908 г.; в нашей литературе эта тема представлена несколькими работами. Расчет двухшарнирной арки по деформированной схеме изложен в исследовании Н. Н. Поликарпова [384а].

В книге В.А.Киселева [299а] рассмотрено влияние деформации на усилия в арках, ось которых в деформированном состоянии является рациональной; исследуется та форма, которую должна принять ось арки после разгрузки. Для арки любого очертания формулы приближенного деформационного расчета с анализом точности формул даны А. А. Пиковским [372а — 374а]. Деформационному расчету посвящены также более поздние работы [280], [306].

Влияние деформации круговой арки на усилия в ней исследовал методом начальных параметров Н. К. Снитко [456а].

Деформационному расчету арок с учетом участия в работе сквозного неразрезного надарочного строения посвящена статья Л. П. Поповой [393а]; приведенные здесь формулы могут служить для облегчения расчета, а решенные примеры подтверждают, что влияние деформаций на изгибающие моменты в арке должно учитываться. Различным аспектам этой темы посвящены статьи [480а, 259а, 494а, 308а].

Одним из наиболее интересных вопросов теории арок является вопрос о так называемой рациональной форме оси арки, т. е. о подборе наивыгоднейших геометрических параметров оси арки и ее поперечных сечений. Этот вопрос очень давно привлекает к себе внимание инженеров и породил обширную литературу за рубежом и в СССР. Для статически неопределимых арок выбор рациональной формы оси не может быть отделен от вопроса о подборе закона изменения поперечных сечений по длине арки. Теоретическое решение вопроса встречает большие трудности. Приближенное решение задачи, в основе которого лежит определение осевой линии бесшарнирной арки как кривой давления трехшарнирной арки с учетом ее собственного веса и веса надсводного заполнения, предложено В. С. Блиновым [211а].

В. И. Руднев в своем выдающемся исследовании [427а] выдвинул новую точку зрения на рациональную ось, установив для арок конечной толщины различие между очертанием по кривой давления, вдоль которой M=0, но Q № 0, очертанием по векториальной кривой, вдоль которой Q = 0, но M № 0, и очертанием по промежуточной кривой. Для тонкой арки можно искать очертание по веревочной кривой, вдоль которой M=0 и Q = 0. Для ряда интегрируемых случаев В. И. Руднев вывел уравнения этих кривых, относящихся к симметричным аркам, нагруженным вертикальной нагрузкой.

A.В. Белов (206а) применял функцию Бесселя для подбора очертания рациональной оси арки по веревочной кривой при условии, что заданная нагрузка вертикальна и что в нее включен и собственный вес арки. Высота поперечного сечения подбирается так, чтобы нормальные напряжения были постоянны при вертикальной нагрузке вида f(x)=-q₀+ax^m. В основу исследования положено дифференциальное уравнение, выведенное Ф. С. Ясинским в 1902 г.

B. А. Киселев исследовал вопрос о подборе рациональной оси арки в ряде статей [296а—298а] и в специальной книге [299а], которая выделяется широкой трактовкой вопроса. К этому же кругу вопросов примыкает в известной степени книга К. М. Хуберяна [487а], в которой решен ряд плоских и пространственных задач о рациональных формах трубопроводов, бункеров, резервуаров и напорных перекрытий. Г. Н. Яковлев [499а] решил задачу, приняв нагрузку распределенной по закону алгебраического многочлена, а ось арки за веревочную кривую для этой нагрузки, а также задав закон изменения моментов инерции и закон изменения площадей. А. П. Филин посвятил расчету арок ряд исследований [472а—476а]. В них четко сформулированы трудности задачи и обосновано предложенное им решение, при котором за ось свода принята веревочная кривая, построенная для постоянной нагрузки, соответствующей линейной арке; что же касается закона распределения постоянной нагрузки, то он связан с выбором рационального закона изменения площадей поперечных сечений арки. Автор возражает против использования готовых таблиц в тех случаях, когда имеется существенное расхождение между принятой формой проектируемой арки и той, которая положена в основу таблиц. В работе А. П. Филина рассмотрен также вопрос о приемах, позволяющих при известных ограничениях переносить результаты расчета одной арки на другую, несколько отличную по размерам, по форме оси и по нагрузке.

В кандидатской диссертации Э. П. Клявиня [305а] исследуется широкий класс рациональных кривых, частные случаи которых были рассмотрены С. И. Белзецким в 1905 г. и В. И. Рудневым в 1930 г. Э. П. Клявинем установлено, что область рациональных арочных кривых не ограничивается кривой давления и векториальной кривой, что она значительно шире. Влиянию формы оси арки посвящены также [408а, 495а].

В литературе, относящейся к теории рациональной оси арок, стрела подъема арки считается заданной и не подлежащей варьированию. Это объясняется тем, что и при неизменной величине стрелы задача содержит множество переменных параметров и заключает в себе большие, непреодоленные до сих пор в общем виде трудности. Однако ясно, что для получения оптимальной, т. е. наивыгоднейшей, арки необходимо включить в число разыскиваемых значений параметров также величину стрелы подъема. В 1925 г. И. М. Рабинович нашел, что наивыгоднейшее отношение стрелы к пролету весомой гибкой нити или сжатой арки, очерченной по кривой давления от собственного веса, выражается формулой f/l=Ц3/4=0.433. Я. Г. Пановко в своей работе [361 а], опубликованной в 1934 г., дал решение той же задачи, но в качестве нагрузки принял вес - самой арки и сплошного надсводного заполнения.

Успешно достигается уменьшение изгибающих моментов, вызываемых временной нагрузкой, — в арочных мостах с наклонным расположением подвесок, прикрепляющих затяжку. Подвески обычно делаются гибкими, способными работать только на растяжение; при появлении в какой-нибудь подвеске сжимающих усилий она выключается из работы. Проектирование таких арочных статически неопределимых систем с выключающимися связями выдвинуло в теории арок ряд новых вопросов. Зтой проблеме посвящена книга А. Я. Аствацурова [764а].

Расчет упругих мостовых арок на постоянную нагрузку при зависимости между напряжениями и деформациями, выражающейся нелинейным законом: e=as², рассмотрен в статье А. П. Филина [474а]. Такая зависимость более отвечает свойствам материала каменных и бетонных массивных мостов, чем закон Гука. Автор аппроксимировал любую ось арки коробовой кривой. При симметричном загружении бесшарнирной арки за лишние неизвестные приняты распор и изгибающий момент в замковом сечении. Приравниванием нулю частных производных так называемой <<дополнительной работы>> по этим переменным получаются два совместных квадратных уравнения, содержащих эти неизвестные. Аналогично рассчитывается двухшарнирная арка. Расчет даже в простейших случаях значительно сложнее обычного.