Ю. Г.  Мартыненко

ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА В ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ И МАГНИТНЫХ ПОЛЯХ

ББК 22.213

М29

УДК 531.36

М а р т ы н е н к о Ю. Г. Движение твердого тела в электрических и магнитных полях,— М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988.- 368 с — ISBN 5-02-013801-0.

Изложены вопросы теории движения проводящего твердого тела в электрических и магнитных полях. Рассмотрены задачи определения главного вектора и главного момента сил. действующих на твердое тело в электростатическом подвесе. Исследована динамика твердого тела в неконтактном подвесе с учетом взаимосвязи поступательных и вращательных движений. Значительное внимание уделено изучению движения около центра масс твердого тела под действием момента сил, обусловленного вихревыми токами, возникающими при движении проводящего тела в магнитном поле.

Для научных работников, инженеров, студентов и аспирантов, специализирующихся в области прикладной и теоретической механики и электродинамики.

Табл. 1. Ил. 52. Библиогр. 219 назв.

Рецензент

профессор, доктор физ.-мат. наук В. В. Белецкий

Предисловие

В последнее время значительно возрос интерес к задаче движения твердого тела в электрических и магнитных полях. Интенсификация исследований этой проблемы вызвана использованием неконтактных подвесов в различных областях современной техники. Во многих приборах и устройствах неконтактные подвесы позволяют существенно увеличивать срок службы, уменьшать трение и шум. повышать точность, увеличивать рабочие скорости вращения и т. п. Однако разработка и создание пригодного к эксплуатации неконтактного подвеса требуют решения комплекса сложных научно-технических проблем как в области теории, так и в области технологии.

С теоретической точки зрения задача о движении твердого тела в электрических и магнитных полях представляет интерес как обобщение классической проблемы интегрирования уравнений движения тяжелого твердого тела. Для решения этой задачи необходимо исследование совместной системы уравнений движения твердого тела около неподвижной точки и уравнений электродинамики. Очевидно, что попытки получить точное аналитическое решение задачи в общем случае обречены на неудачу. Вместе с тем прогресс, достигнутый в последние годы математиками в области асимптотического интегрирования сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений, позволил предложить общий подход для построения приближенных решений задачи для определенных, заранее обусловленных классов движения. (Оказалось, что эти классы движений имеют достаточно важное практическое значение.)

Поэтому обширность полученных результатов и интерес к теории движения твердого тела в электрических и магнитных полях делают своевременным написание монографии, подводящей итог этим исследованиям. Однако в настоящее время вряд ли возможно в одной монографии решить столь обширные задачи. Поэтому в данной книге рассмотрены два круга вопросов, близких к научным интересам автора. Во-первых, в монографии изложена теория электростатического подвеса твердого тела, которая к настоящему времени вообще не отражена в монографической литературе, хотя число журнальных статей по этим вопросам достаточно велико. Во-вторых, рассмотрена задача о движении около центра масс проводящего твердого тела в магнитном поле. В книге используется асимптотический подход, причем в качестве малого параметра выбираются как малости геометрического характера, связанные с отличием формы тела от сферической, так и малости, обусловленные наличием в системе быстрых и медленных движений.

Книга в основном базируется на исследованиях, выполненных автором начиная с 1967 года, при этом многие вопросы разрабатывались совместно с коллегами и учениками автора. Автор глубоко признателен И. В. Новожилову за неизменное внимание к работе.

Многочисленные ценные идеи и советы были высказаны в процессе неоднократных обсуждений результатов книги А. Ю. Ишлинским, В. В. Белецким, Д. Б. Белицким, Е. А. Девяниным, В. Ф. Журавлевым, Д. М. Климовым, А. И. Кобриным, П. В. Харламовым, Ф. Л. Черноусько. Всем им автор искренне благодарен.

Введение

Изучение движения твердого тела в электрических и магнитных полях стимулируется многочисленными прикладными задачами, возникающими при разработке новых машин и приборов в различных областях современной техники. Такие задачи встречаются при исследовании бесконтактных опор различных движущихся систем (новые типы гироскопов [49, 118], высокоскоростной наземный транспорт [11, 66, 149]. трехстепенные электрические машины [140] и т. п.), разработке космических аппаратов [20, 29], создании измерительной аппаратуры, работающей в области действия электромагнитных полей [42, 75], постановке некоторых физических экспериментов [76, 171], конструировании устройств для ориентации и транспортировки деталей в промышленности [99] и др. К разработке неконтактных подвесов проявляется большой интерес как в нашей стране, так и за рубежом. В настоящее время уже созданы отдельные приборы, изготовлены и испытаны различные образцы неконтактных подвесов. Этим успехам в значительной мере способствовал прогресс, достигнутый в области механики, электродинамики, теории автоматического регулирования. Вместе с тем с появлением новых приложений постоянно расширяется круг задач, требующих своего решения для рационального конструирования разрабатываемых приборов и машин.

Кроме большого прикладного значения, задачи о движении твердого тела в электрических и магнитных полях имеют и принципиальный теоретический интерес.

При движении проводящего твердого тела в электромагнитном поле в теле возникают электрические токи. Возникновение электрических токов приводит, с одной стороны, к тому, что, взаимодействуя с магнитным полем, они вызывают появление сил, которые изменяют движение тела. С другой стороны, возникновение электрических токов приводит к изменению электромагнитного поля. При теоретическом рассмотрении всех этих вопросов необходимо учитывать как механические, так и электродинамические эффекты. Таким образом, возникает задача исследования совместной системы уравнений электродинамики и уравнений движения твердого тела.

Эта проблема, лежащая на стыке классических дисциплин — теоретической механики и электродинамики, в общей постановке является чрезвычайно сложной для аналитического исследования. Общеизвестны трудности математического исследования сравнительно простой системы обыкновенных дифференциальных уравнений (уравнений Эйлера—Пуассона), описывающих движение тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки. В задаче о движении твердого тела в магнитных и электрических полях эти трудности многократно усугубляются необходимостью решения краевых задач, определяющих электромагнитное поле и зависящих от движения тела.

В принципе возможен, вообще говоря, целиком численный подход к решению задач динамики твердого тела в электромагнитном поле. При таком подходе потребуется, параллельно с интегрированием уравнений движения твердого тела, решать краевую задачу для уравнений Максвелла, описывающих электромагнитное поле. Но такой путь будет чрезвычайно трудоемким и едва ли практически осуществим, если необходимо провести серию расчетов и оценить влияние различных параметров. Кроме того, следует иметь в виду, что с прикладной точки зрения наибольший интерес представляет не полная картина распределения электромагнитного поля, а интегральные характеристики поля и влияние поля на динамику твердого тела. Поэтому интерес к разработке приближенных способов анализа и расчета движения твердого тела в электромагнитном поле в настоящее время возрастает.

История вопроса.   Исследования движения твердого тела в электромагнитном поле были начаты еще в прошлом веке. В 1873 г. в своем трактате об электричестве и магнетизме Максвелл применил методику Лагранжа составления уравнений в обобщенных координатах к электромеханическим системам, содержащим линейные проводники с током. Эти уравнения получили название уравнений Лагранжа — Максвелла и послужили основой для дискретного описания электромагнитных процессов в электромеханических системах [147, 129].

В 1880 г. Г. Герцем было определено электромагнитное поле и вычислены силы и моменты, действующие на металлический шар [211]. Эта задача о проводящем шаре (или сферической оболочке) в магнитном (или электрическом) поле затем неоднократно рассматривалась очень многими авторами [55, 107, 111, 159, 160, 171, 173, 196, 209, 210].

Следует отметить, что только задаче расчета электромагнитных полей посвящено огромное число работ. Не имея возможности останавливаться па таких работах, ограничимся упоминанием, например, монографий Г. А. Гринберга [46], В. Смайта [173], Л. Э. Цырлина [198], содержащих классические и приближенные аналитические методы расчета полей, и книги О. В. Тозони [181], где используется численный подход к задаче определения электромагнитных полей.

В монографии Ю. И. Неймарка и И. А. Фуфаева [147] изложена динамика неголономных систем в связи с общей теорией электрических машин. На основе дискретного описания электромагнитных процессов в квазистационарном приближении выведены уравнения Лагранжа — Максвелла для электромеханических систем с замкнутыми и незамкнутыми токами.

Асимптотический метод к уравнениям Лагранжа — Максвелла, описывающим движение проводящего твердого тела в магнитном поле, применяется в статьях К. Ш. Ходжаева и С. Д. Шаталова [192, 193]. В этих работах также используется дискретное описание электромагнитного поля, задаваемого бесконечномерным вектором токов Фуко, и исследуется структура осредненных уравнений.

Для объяснения неустойчивости вращения ферромагнитных роторов в постоянном магнитном поле В. В. Болотиным была использована концепция внутреннего «вращающегося» трения [30], которая приводит к появлению в уравнениях возмущенного движения циркуляционных (псевдогироскопических) сил.

Взаимодействие бегущего магнитного поля с проводящей средой изучалось в монографии Ю. К. Круминя [99].

В книге Г. Я. Сермонса [171] исследуются общие свойства электромагнитных сил в зависимости от вида и распределения внешнего поля и от геометрической формы и материала твердого тела, т. е. вопросы, относящиеся по существу к статике твердых тел в электромагнитном поле. Исследование задач динамики в [171] проводится в основном для некоторых частных случаев движения твердого тела с одной степенью свободы.

Определению сил и моментов, действующих на тела, несущие токи, посвящена статья В. И. Астахова [9]. Анализу электромагнитного поля и вихревых токов в проводящих оболочках посвящены работы [10, 195].

Решение ряда новых задач динамики твердого тела в магнитном поле началось в конце пятидесятых годов в связи с исследованиями движения искусственных спутников Земли [16], а также с разработкой систем ориентации космических аппаратов [29, 38]. В монографии В. В. Белецкого [16] рассмотрена структура моментов, действующих на спутник в магнитном поле Земли, предложены аппроксимирующие выражения для диссипативных моментов сил от вихревых токов и изучены вековые эффекты, вызываемые взаимодействием магнитного поля спутника с магнитным полем Земли.

Момент сил, действующий на спутник при больших глубинах проникновения магнитного поля в проводник, т. е. при малых угловых скоростях вращения, в наиболее общей форме подсчитан в статье В. В. Голубкова [43]. Экспериментальное определение момента от вихревых токов, возникающих при движении космического аппарата, проводилось А. М. Яншиным [202], Г. Н. Микишевым и И. П. Юферовым [139].

Влияние диссипативных моментов от вихревых токов па ориентацию спутника, стабилизированного вращением, было рассмотрено в статьях Л. И. Федоровой [187], В. И. Драновского и А. М. Яншина [56]. Анализ совместного действия гравитационного и диссипативного момента от вихревых токов на движение вращающегося спутника проведен в работе В. А. Сарычева, В. В. Сазонова [169].

Исследование движения быстрозакрученного намагниченного спутника проведено Ю. А. Садовым [167].

Результаты цикла работ, выполненного В. В. Белецким и А. А. Хентовым, по изучению вращательного движения спутников под действием сил магнитной природы, возникающих в результате взаимодействия магнитного поля Земли с собственным магнитным полем спутника, подытожены в монографии [20].

При разработке систем ориентации космических аппаратов используется бесконтактное вывешивание маховиков в магнитном поле. Здесь следует упомянуть так называемые сферические трехстепенные стабилизаторы [38], например шаровой электродвигатель-маховик для стабилизации орбитальной станции. Движение спутника, который несет распределенный электрический заряд, в магнитном поле рассматривалось В. В. Луневым [114, 115]. В [114] указаны случаи интегрируемости уравнений движения в поле сил Лоренца, в [115] установлена гидродинамическая аналогия этой задачи.

В статье Б. И. Рабиновича, В. М. Рогового [157] на основе асимптотического решения уравнений электромагнитного поля предложена математическая модель нестационарных вихревых токов в проводящих ферромагнетиках, которая может быть использована в задачах ориентации и стабилизации космических аппаратов.

Весьма важный класс задач о движении твердого тела в электромагнитном поле возникает в гироскопии, в частности, в теории гироскопов с неконтактными подвесами. Такие гироскопы представляют собой, как правило, быстро закрученное твердое тело, левитирующее («парящее«) в вакууме при помощи магнитных или электрических сил. Термин «неконтактный подвес» используется в данной книге для обозначения электростатического, магнитного или криогенного подвесов. Ротор гироскопа с магнитным подвесом выполнен в виде ферритовой сферы, которая поддерживается во взвешенном состоянии магнитным полем, регулируемым специальной следящей системой. Другой разновидностью магнитного подвеса является криогенный подвес, в котором используется взаимодействие магнитных полей, создаваемых в сверхпроводниках. Материал ротора, катушек электромагнитов и специальных экранов приводится в сверхпроводящее состояние путем глубокого охлаждения. В гироскопе с электростатическим подвесом ротор представляет собой проводящую сферу, помещенную между электродами, на которые подается регулируемое высокое напряжение [118]. Магнитный подвес ферритовых тел известен, начиная примерно с тридцатых годов нашего столетия [212]. Опыты подвеса твердого тела с использованием явления сверхпроводимости проводились В. К. Аркадьевым в 1945 г. [6].

В гироскопии электростатический подвес был предложен А. Нордсиком в 1954 г. [216], свободный шаровой гироскоп с управляемым электромагнитным подвесом - Г. Паркером в 1958 г. [217], а криогенный "- Т. Буххольдом в 1959 г. [36, 205].

Наличие следящих систем, регулирующих силовое поле в неконтактных подвесах, позволяет создавать приборы, сочетающие в себе свойства и гироскопа, и ньютонометра [49, 207].

Кардинальное повышение точности гироскопических устройств за счет использования новых типов подвесов обсуждается в статье Б. А. Делекторского и И. Н. Орлова [51], где тенденция замены обычных подвесов неконтактными рассматривается как реализация принципа бесконтактности в гироскопической электромеханике.

Область применения гироскопов с неконтактными подвесами не ограничивается навигацией и управлением движущимися объектами. Такие гироскопы используются и при проведении тонких физических экспериментов. В частности, возможность создания специального гироскопа для измерения эффектов общей теории относительности на борту спутника, «свободного от сноса», обсуждается в статье Р. Кеннона [76]. При этом требуется измерять уход гироскопа, равный 7 угловым секундам в год. Такая исключительная точность требует учета чрезвычайно малых моментов, действующих на гироскоп. В частности, при анализе движения ротора требуется учитывать колебания атомов внутри тела гироскопа, т. е. определять так называемый тепловой барьер точности гироскопов. Решению этой задачи посвящены работы [215, 72, 86]. Авторы указанных работ, исходя из различных моделей кристаллической решетки твердого тела, определяют статистические характеристики ухода гироскопа, вызванного колебаниями атомов внутри тела гироскопа при заданной температуре.

Исследования, посвященные гироскопам с неконтактными подвесами, выполнены в основном в последние двадцать лет. Краткий обзор литературы (до 1973 г.) можно найти в работе [49].

Прежде чем переходить к перечислению работ, относящихся к гироскопам с неконтактными подвесами ротора; сделаем замечание о шаровых гироскопах с аэродинамическими подвесами. Такие подвесы начали применяться в гироскопических устройствах гораздо раньше, чем неконтактные. Однако многие подходы, которые использовались при изучении гироскопов с аэродинамическими подвесами, оказались весьма эффективными и для гироскопов с неконтактными подвесами. Основополагающие результаты, полученные для гироскопов с аэродинамическими подвесами, связаны с именами Б. В. Булгакова. А. Ю. Ишлинского, Я. Н. Ройтенберга. В монографии Б. В. Булгакова [35] разработана общая теория движения симметричного гироскопа и в качестве иллюстрации общего подхода исследовано движение нейтрального гироскопа в сопротивляющейся среде. В книге А. Ю. Ишлинского [69] создана теория гироскопической вертикали с аэродинамическим подвесом и электромагнитной коррекцией. Необходимо указать. что в 1938 г. Б. В. Булгаков ввел фазовые координаты для описания движения симметричного твердого тела [35]. (Близкий набор переменных применялся в ряде задач небесной механики Андуайе, Депри [8].) Этот набор фазовых переменных, называемых также оскулирующими элементами, сыграл очень большую роль во многих задачах движения твердого тела около центра масс. Здесь большая заслуга принадлежит В. В. Белецкому, который успешно применил оскулирующие элементы для решения ряда задач динамики вращательного движения спутников [16. 18]. Дальнейшее развитие метода оскулирующих элементов было осуществлено Ф. Л. Черноусько, который исследовал движение твердого тела с трехосным эллипсоидом инерции [199].

Среди публикаций, посвященных гироскопам и ньютонометрам с неконтактными подвесами, часть работ посвящена описанию принципа действия, конструктивных схем приборов и их основных характеристик (масса, габариты, точность, время готовности, диапазон измерений, требования, предъявляемые к изготовлению отдельных узлов и элементов, и т. п.). В таких работах, как правило, не содержится теоретических исследований, поэтому, не останавливаясь на подобных работах, ограничимся указанием книг И. А. Горенштейна, И. А. Шульмана [44] и П. И. Малеева [118], где систематизированы сведения о гироскопах с неконтактными подвесами, опубликованные в зарубежной печати, а также о патентах в этой области.

Анализ проблем, возникающих при создании гироскопа с электростатическим подвесом проведен в работе [206]. Обсуждаются требования к системе управления потенциалами электродов, возникающие из-за ограничений, связанных с явлениями пробоя, оценивается поддерживающая способность подвеса. Приведены данные о величинах деформаций ротора при действии центробежных сил, а также о величине постоянной времени выбега за счет неполного вакуумирования кожуха и наличия внешних магнитных полей. Обсуждается возможность первоначальной выставки ротора во время запуска и обеспечения теплового режима прибора.

Расчет сил, действующих на проводящий незаряженный шар при его малых смещениях в электростатическом подвесе с произвольной конфигурацией электродов, выполнен Л. 3. Новиковым и О. Ф. Орловым [148]. Полученные формулы позволили рассмотреть вопрос о выборе закона управления потенциалами электродов.

В работе Г. Ф. Дробышева и В. В. Тимофеева [57] для конкретной конфигурации электродов найдены формулы для силы, действующей на незаряженный ротор электростатического гироскопа, в частном случае, когда ротор смещен вдоль оси симметрии одной пары электродов. При этом смещения ротора не обязательно являются малыми по сравнению с величиной зазора между ротором и электродами.

В работах, выполненных А. Н. Балясниковой, А. М. Коровкиным, Е. М. Певзнером [12, 13], рассматриваются некоторые вопросы, возникающие при исследовании электростатического гироскопа: нахождение емкости электрод-ротор, определение потенциала ротора при отсутствии на нем заряда.

Определение главного вектора и главного момента сил, действующих на ограниченное сверхпроводящее тело в магнитостатическом поле, проводится в статье А. Б. Рябова [163], причем задача расчета поля решается в рядах по специальным функциям.

Методика приближенного расчета силовых характеристик подвеса криогенного гироскопа, которая позволяет получить конечные формулы для сил и жесткостей подвеса в случае поддерживающих катушек произвольной (не обязательно круговой) формы, предложена в работе В. Ф. Журавлева, В. М. Руденко [61]. В [61] используется асимптотический метод расчета, причем в качестве малого параметра выбирается отношение зазора между контуром с током и ротором к радиусу ротора.

Весьма большое число работ посвящено нахождению условий устойчивости твердого тела (в частности, ротора гироскопа) в неконтактном подвесе (см., например, [14, 41, 42, 94, 153]). Такой интерес к этой проблеме связан с принципиальным характером вопроса об устойчивости твердого тела в неконтактном подвесе. Большинство работ посвящено анализу неконтактных подвесов, в состав которых входит следящая система, изменяющая силовое поле подвеса в зависимости от положения тела (так называемые активные неконтактные подвесы [41, 153]). Кроме того, достаточно подробно изучены пассивные неконтактные подвесы, в которых устойчивость положения равновесия твердого тела в неконтактном подвесе обеспечивается специальным выбором параметров резонансных колебательных контуров [118]. В монографиях [42, 153] излагаются результаты расчетов устойчивости магнитных подвесов различных назначений. В статье В. С. Воронкова, О. Д. Поздеева [41] оценивается область притяжения устойчивого положения равновесия твердого тела в магнитном подвесе при различных видах коррекции, используемых в цепи обратной связи.

Существование устойчивых орбитальных движений постоянного магнита в нерегулируемом магнитном поле было обнаружено В. В. Козорезом [92-94].

Исследование устойчивости ротора в электромагнитном подвесе с учетом инерционности его цепей проведено В. М. Сориным в [175], где получено условие затухания нутационных колебаний ротора. Им же рассмотрен нелинейный резонанс, наступающий при комбинационном соотношении между частотами радиальных, аксиальных и угловых колебаний, когда имеет место перекачка энергии между угловыми и поступательными движениями ротора гироскопа [176].

Несовпадение фигуры ротора неконтактного гироскопа с шаром приводит к появлению момента относительно центра масс ротора и, следовательно, к возникновению уходов гироскопа. Поэтому вопрос об определении моментов, действующих на ротор гироскопа в неконтактном подвесе, привлекал внимание многих авторов.

Вычисление момента сил, приложенных к эллипсоидальному ротору в электромагнитном подвесе, проведено в работе В. М. Сорина [174]. Точное выражение для плотности пондеромоторных сил в [174] не подсчитывается, а вводятся сосредоточенные силы F_i, число которых равно числу катушек подвеса, Потенциальная энергия тела в электромагнитном подвесе вычисляется в предположении, что силы F_i - линейным образом зависят от зазора между катушкой и ротором. Полученное выражение для потенциальной энергии позволяет установить связь между угловой жесткостью подвеса и его равножесткостью.

Момент сил, приложенных к ротору, поверхность которого мало отличается от сферической, подсчитан в работах [120, 123, 183, 184]. В [120] дано решение краевой задачи для потенциала поля в подвесе электростатического гироскопа, а момент, приложенный к ротору, найден интегрированием плотности пондеромоторных сил на поверхности ротора. В [183] найдены возмущающие моменты в подвесе неконтактного гироскопа с осесимметричным силовым полем. Случай криогенного подвеса рассмотрен в [184].

В работе Д. М. Климова, Г. Н. Космодемьянской и Ф. Л. Черноусько [77] проведен анализ движения под действием силы тяжести несбалансированного гироскопа в неконтактном подвесе в случае, когда ротор гироскопа можно рассматривать как твердое тело, имеющее неподвижную точку.

Вопрос определения положения оси вращения несбалансированного ротора гироскопа с неконтактным подвесом рассматривался в статье О. В. Зензинова и Л. З. Новикова [65].

Работа В. В. Белецкого [17] демонстрирует большие возможности, которые предоставляет метод оскулирующих элементов при разделении быстрых и медленных движений в задачах динамики гироскопов с неконтактными подвесами. Эта статья замечательна установлением глубоких аналогий между задачами небесной механики и теории гироскопов с неконтактными подвесами ротора.

Анализу прецессионных движений гироскопов под действием моментов, обладающих силовой функцией, посвящены работы Г. Г. Денисова, Ю. М. Урмана [54, 185], В этих работах используется аппарат теории представлений группы вращений, что позволило классифицировать моментные взаимодействия по рангу матрицы конечных вращений.

Движение гироскопов с неконтактным подвесом под действием неконсервативных моментов рассматривалось Г. Г. Денисовым, В. Н. Комаровым в статье [52].

Исследование процесса активного демпфирования нутационных колебаний, возникающих при раскрутке ротора гироскопа с электростатическим подвесом, проведено в работах [213, 95, 63].

Некоторые вопросы динамики гироскопов с неконтактными подвесами, установленными на вибрирующем основании, обсуждаются в статье Ю. И. Кузнецова [103], где рассматривается частный случай чисто упругого подвеса. Резонансные движения гироскопа с неконтактным подвесом при одноосной поступательной вибрации основания изучались в работах [133, 188]. Случай двух-компонентной вибрации основания, а также случай угловой вибрации основания были исследованы Т. А. Савченко в работах [165, 166].

Резонансные движения проводящего твердого тела в магнитном поле рассматривались в [110, 59]. причем в [110] исследован случай движения динамически симметричного, твердого тела с проводящей областью шаровой формы, а в [59] - движение твердого тела с произвольным эллипсоидом инерции во вращающемся магнитном поле.

Влияние случайной вибрации на движение твердого тела изучалось А. В. Медведевым [137].

Задача о движении осесимметричного тела, имеющего неподвижную точку и находящегося под действием сил, порожденных эффектом Барнетта - Лондона, сведена В. А. Самсоновым к квадратуре. В его статье [168] дано описание перманентных вращений и регулярных прецессий тела.

Интегрируемые случаи вращательного движения намагниченного твердого тела в однородных гравитационных и магнитных полях, обобщающие случай С. В. Ковалевской, были найдены О. И. Богоявленским [27, 28].

Вопросы интегрируемости уравнений движения и существования периодических решений для твердого тела-ферромагнетика в постоянном во времени и однородном магнитном поле рассматривались В. В. Козловым [91].

В статье [186] Ю. М. Урман показал, что при вращательном движении сверхпроводника в магнитном подвесе из-за взаимосвязи движения центра масс и углового движения сверхпроводника возникают эффекты, аналогичные эффектам в движении несбалансированного шара в неконтактном подвесе [122].

Приведенный выше краткий обзор работ по динамике твердых тел в электрических и магнитных полях не претендует на полноту. В частности, в нем не упоминаются работы, посвященные транспорту на магнитном подвесе [11, 149]. Проблемы создания такого транспорта вызвали огромное число публикаций. В 1977, 1979, 1985 гг. тематические номера журнала «Электромеханика» были посвящены высокоскоростному наземному транспорту [66].

В обзоре не отражены и работы, посвященные анализу трехстепенных электрических машин [50, 140, 159, 160]. Соответствующую библиографию можно найти в монографии А. Н. Миляха, В. А. Барабанова, Е. В. Двойных [140].

Содержание книги.   При подборе материала книги автор сконцентрировал свое внимание на задачах, в которых в движении тела и поля можно указать составляющие, резко отличающиеся по своим временным масштабам. Применение асимптотических методов к указанному кругу задач, имеющему довольно большое практическое значение, позволяет произвести эффективное разделение быстрых и медленных движений и построить некоторые упрощенные математические модели, описывающие определенные классы движений твердого тела в электрическом и магнитном полях.

Гл. I-III книги посвящены изложению теории движения твердого тела в электростатическом подвесе, а в гл. IV-VI рассматривается динамика твердого тела около центра масс в квазистационарном магнитном поле.

Построение теории движения твердого тела в электростатическом подвесе можно разбить на два этапа. На первом осуществляется анализ полей, поддерживающих твердое тело, что позволяет написать уравнения движения. На втором проводится решение уравнений для определенных классов движения. Именно такой план был избран при написании данной книги.

В гл. I рассматривается задача определения главного вектора сил, действующих на твердое тело в электростатическом подвесе. Вначале излагаются принципы построения электростатических подвесов и проводится разделение движений в пассивном одноосном электростатическом подвесе. При помощи метода многих масштабов удается обнаружить в уравнениях первого приближения наличие раскачивающих сил, которые могут приводить к неустойчивости резонансных подвесов.

Задача расчета сил и моментов, приложенных к твердому телу в неконтактном подвесе, требует нахождения потенциала поля, удовлетворяющего уравнению Лапласа. Вид граничных условий, которые необходимо задавать на поверхности твердого тела и на элементах системы подвеса, зависит от типа неконтактного подвеса. Решение краевой задачи позволяет определить плотность пондеромоторных сил на поверхности твердого тела и после интегрирования найти главный вектор и главный момент пондеромоторных сил. В силу простоты геометрии твердого тела (как правило, форма тела близка к сферической). сформулированные краевые задачи допускают аналитическое решение, а использование методов малого параметра позволяет получить не слишком громоздкие асимптотические формулы для сил и моментов, действующих на твердое тело.

При определении главного вектора сил, приложенных к проводящему шару в электростатическом подвесе, введение бисферических координат позволяет получить решение краевой задачи при произвольных (не обязательно малых) смещениях шара в подвесе.

В реальных конструкциях зазор между электродами и твердым телом мал по сравнению с размерами тела, поэтому разложение выражений для сил по соответствующему малому параметру позволяет получить довольно простые асимптотические формулы для главного вектора пондеромоторных сил, действующих на проводящий заряженный шар в электростатическом подвесе с произвольной конфигурацией электродов. Эти формулы позволяют установить условия, которым при жестком управлении потенциалами электродов обязаны удовлетворять геометрические параметры электродов, чтобы подвес был линейным и изотропным. Оказывается, что этим условиям удовлетворяют, в частности, электроды, оси которых направлены по осям симметрии граней правильных многогранников: куба, октаэдра, додекаэдра, икосаэдра.

Затем рассматривается задача о выборе формы электродов, обеспечивающей максимальную жесткость электростатического подвеса. Нахождение оптимальной конфигурации электрода системы с идентичными каналами сводится к исследованию вариационной задачи с неаддитивным функционалом. При некоторых значениях заряда твердого тела решением этой задачи является сферический сегмент определенного размера. Проведенное исследование позволило установить зависимость жесткости электростатического подвеса от числа каналов следящей системы, заряда твердого тела и т. п. Задача рассматривалась при концентрическом расположении шара и полости, на поверхности которой находятся электроды.

В заключение в гл. I проводится исследование силовых характеристик шестиэлектродного и восьмиэлектродного электростатических подвесов при больших смещениях шара из центра подвеса. В случае шестиэлектродного подвеса для силы, действующей на проводящий заряженный шар, выписывается формула с учетом кубических по смещению членов. Анализ полученных соотношений показывает, что электростатические подвесы незаряженного шара могут обладать только мягкой характеристикой. Приведены результаты числовых расчетов силы в электростатических подвесах.

Гл. II посвящена анализу моментов сил, действующих на твердое тело в неконтактном подвесе. В случае, когда поддерживающие силы нормальны к поверхности твердого тела, проводится вывод выражений для силовых функций моментов. Если поверхность твердого тела близка к сферической и имеет ось симметрии, то после разложения уравнения поверхности твердого тела в ряд по полиномам Лежандра коэффициенты этого разложения оказываются малыми параметрами e_k. Силовая функция моментов сил записывается в линейном приближении по параметрам e_k и проводится анализ выражения для моментов, порождаемых наличием в форме твердого тела k-й гармоники (k = 1, 2, ј).

Момент первой гармоники есть момент от осевого дебаланса твердого тела. Для силовой функции момента второй гармоники вводится понятие главных осей "- это такие оси, в которых силовая функция может быть записана в каноническом виде. При совпадении оси симметрии твердого тела с одной из главных осей силовой функции момент сил, действующих на тело, обращается в нуль. Силовая функция момента от второй гармоники допускает простую механическую интерпретацию как силовая функция притягивающих ньютоновских центров, расположенных специальным образом. Найдены условия тождественного обращения в нуль момента второй гармоники - условия «невозмущаемости» углового движения твердого тела в неконтактном подвесе.

В случае шестиэлектродного и восьмиэлектродного электростатических подвесов проводится сравнение возмущающих моментов высших гармоник, возникающих при наличии в форме тела гармоник одинаковой амплитуды.

Рассматривается задача о выборе оптимального радиуса ротора, минимизирующего угловую скорость ухода электростатического гироскопа, вызванного наличием первой и второй гармоник в форме ротора.

Для описания и анализа моментного взаимодействия в неконтактном подвесе используются также теоретико-вероятностные методы. Поверхность взвешенного в неконтактном подвесе тела рассматривается как реализация некоторого случайного поля. При этом устанавливается связь вероятностных характеристик возмущающих моментов со статистическими оценками качества поверхности тел. Знание такой связи имеет большое практическое значение, так как позволяет, не проводя детального анализа поверхности, оцепить вероятный уровень возмущающих моментов, действующих на твердое тело в неконтактном подвесе. Предполагается, что поверхность тела, взвешенного в неконтактном подвесе, близка к сферической и может рассматриваться как случайное поле па сфере с нулевым математическим ожиданием и известной корреляционной функцией. Определяется зависимость дисперсии возмущающего момента от параметров неконтактного подвеса.

Гл. III монографии посвящена анализу динамики твердого тела в неконтактном подвесе в случае, когда поверхность тела есть сфера, а центр масс не совпадает с центром сферической поверхности твердого тела. При этом из-за взаимосвязи движения центра масс и углового движения твердого тела вокруг центра масс возникает ряд механических эффектов, исследование которых и является целью гл. III. Предполагается, что поддерживающие силы в неконтактном подвесе действуют по нормали к поверхности тела, и, следовательно, приводятся к равнодействующей, приложенной в геометрическом центре твердого тела. Равнодействующая «притягивает» геометрический центр шара к некоторой неподвижной точке пространства О, которая называется центром неконтактного подвеса. Твердое тело предварительно раскручено вспомогательной системой и в рабочем режиме вращается по инерции. Силы сопротивления движению отсутствуют - тело находится в вакууме. Разделение быстрых и медленных движений в рассматриваемой задаче проводится при помощи общей схемы осреднения, причем правые части уравнений для медленных переменных осредняются как по движению Эйлера - Пуансо, так и по движению центра масс твердого тела.

Показано, что взаимосвязь поступательных и вращательных движений несбалансированного шара может приводить как к торможению, так и к разгону твердого тела, т. е. неконтактный подвес может выполнять роль своеобразного двигателя, регулирующего угловую скорость вращения тела. Найдены условия, которым должна удовлетворять передаточная функция следящей системы неконтактного подвеса, чтобы обеспечить существование стационарных вращений несбалансированного шара. Определены условия устойчивости нутационных колебаний твердого тела и проведены оценки амплитуды биений несбалансированного шара в неконтактном подвесе. Обсуждается механизм возникновения тормозящих или ускоряющих моментов в неконтактном подвесе.

Далее в гл. III исследуется динамика несбалансированного шара в неравножестком подвесе, установленном на равномерно вращающемся основании. Проводится анализ выражений для моментов, действующих на тело в случае, когда ось динамической симметрии тела близка к вектору кинетического момента. Оказывается, что силовая функция потенциальной части моментов, приложенных к несбалансированному шару в неконтактном подвесе, является однородной квадратичной формой направляющих косинусов оси динамической симметрии тела, т. е. потенциальная часть моментов будет аналогична моменту, вызываемому наличием второй гармоники в форме тела. Непотенциальная часть моментов в неравножестком подвесе может приводить к разгону (или торможению) шара, а также к изменению положения вектора кинетического момента в инерциальном пространстве. Найдена зависимость углового ускорения твердого тела от ориентации вектора кинетического момента относительно осей, жестко связанных с неконтактным подвесом.

Исследуется динамика твердого тела в неконтактном подвесе, установленном на вибрирующем основании. Предполагается, что подвес равножесткий, а основание совершает гармонические поступательные колебания вдоль неизменно ориентированной в пространстве оси. При помощи соответствующих результатов теории асимптотических методов, относящихся к резонансным задачам, построены осредненные уравнения для расширенного вектора медленных переменных. (Кроме переменных, определяющих положение вектора кинетического момента твердого тела, вводится дополнительная медленная переменная - так называемая фазовая расстройка.) Анализ осредненных уравнений показывает, что вибрация оказывает влияние па движение твердого тела только в тех случаях, когда частота вибрации основания близка к одной из частот углового движения твердого тела.

Проводится исследование стационарных резонансных режимов движения твердого тела в неконтактном подвесе при поступательной однокомпопентной вибрации основания. Обсуждается возможность синхронизации частоты вращения тела с частотой вибрации основания.

Более подробно рассмотрен случай консервативного подвеса (такой случай может иметь место в неконтактных подвесах, у которых равнодействующая силового поля пропорциональна смещению геометрического центра шара из центра подвеса - так называемый «чисто упругий подвес»). В консервативном подвесе для осредненных уравнений движения удается найти три первых интеграла, которых достаточно для того, чтобы свести задачу к квадратурам. Указанные интегралы аналогичны интегралам задачи о резонансных движениях динамически симметричного спутника в гравитационном поле [18]. Отличие состоит только в структуре силовой функции, поэтому исследование осредненных уравнений можно провести методами, изложенными в монографии В. В. Белецкого [18]. Анализ резонансных движений несбалансированного шара позволил получить формулы для ухода вектора кинетического момента.

Исследуется движение несбалансированного шара с произвольным эллипсоидом инерции. Вместо медленной переменной угла нутации J вводится медленная переменная k₂, которая является модулем эллиптических функций Якоби, описывающих движение твердого тела около центра масс в случае Эйлера - Пуансо. В случае, когда параметр k₂ мал, что соответствует малым колебаниям оси наибольшего или наименьшего моментов инерции твердого тела вблизи вектора кинетического момента, в нерезонансной ситуации построены осредненные уравнения движения твердого тела в неконтактном подвесе. Из этих уравнений найдены условия устойчивости вращения твердого тела вокруг осей наибольшего и наименьшего моментов инерции тела.

Изучается влияние нелинейности неконтактного подвеса на движение несбалансированного шара. Обнаружено явление ухода вектора кинетического момента, вызванного нелинейностью подвеса. Получено необходимое и достаточное условие интегрируемости прецессионных уравнений движения твердого тела под действием только неконсервативных моментов. Построены траектории движения вектора кинетического момента для частных случаев нелинейности подвеса.

В заключение в гл. III исследуется динамика несбалансированного шара в неконтактном подвесе с импульсной системой регулирования. Необходимость подобного исследования связана с широким применением импульсных систем при конструировании новых типов неконтактных подвесов [207, 214]. Оказывается, что и в случае импульсного управления имеют место многие механические эффекты, найденные в случае непрерывного управления: существование стационарных скоростей вращения шара, возможность изменения амплитуды нутационных колебаний и т. п.

В гл. IV сформулирована задача исследования совместной системы уравнений электродинамики, записанных в квазистационарном приближении, и уравнений движения твердого тела вокруг центра масс. Определяются классы движений, для которых возможно построение асимптотического решения задачи. В случае малой глубины проникновения магнитного поля в проводник перед оператором Лапласа в уравнении параболического типа для вектора напряженности магнитного поля возникает малый параметр. Для решения электродинамической задачи применяется метод пограничного слоя. Показано, что решение задачи движения твердого тела в магнитном поле разбивается на две части. Первая, электродинамическая часть задачи сводится к решению некоторых стандартных краевых задач, зависящих от формы области, занятой проводящим материалом тела, и не зависящих от движения тела, и затем к подсчету компонент тензоров, определяемых на решении указанных стационарных краевых задач. Вторая часть задачи сводится к решению уравнений движения твердого тела и не требует решения уравнений с частными производными. Такое разбиение позволяет существенно упростить исходную задачу. Так, в случае малой глубины проникновения поля в проводник задача о движении твердого тела произвольной формы в магнитном поле сводится к исследованию некоторого интегродифференциального уравнения.

В качестве иллюстрации использования построенного интегродифференциального уравнения рассматривается задача о плоских колебаниях относительно горизонтальной оси тяжелого твердого тела сферической формы, находящегося в высокочастотном однородном магнитном поле. В указанной задаче обнаружен эффект нарастания амплитуды колебаний тела.

При анализе электродинамической задачи другой предельный случай - случай большой глубины проникновения поля в проводник - возникает при медленных движениях тела относительно поля. Здесь малый параметр появляется при производной по времени в параболическом уравнении для вектора напряженности магнитного поля, а пограничный слой развивается вдоль временной оси. При помощи методов сингулярных возмущений и в этом случае нестационарная электродинамическая задача сводится к решению серии стационарных краевых задач, зависящих лишь от формы тела. При этом удается установить аналогию между задачей расчета тензоров поляризуемости проводящего твердого тела и задачей расчета тензора присоединенных моментов инерции, возникающих при исследовании движения твердого тела с полостями, содержащими жидкость. В случае осесимметричного внешнего поля, в котором находится твердое тело, определяется структура момента сил, действующих на тело.

В конце гл. IV рассматривается задача построения двусторонних оценок момента сил в магнитном поле. Развитый в гл. IV асимптотический подход для определенных, заранее обусловленных классов движения существенно расширяет возможности отыскания приближенного выражения для момента сил, действующих на проводящее твердое тело. Вместе с тем аналитическое решение построенных стационарных краевых задач известно далеко не всегда, а численные алгоритмы громоздки и требуют больших затрат машинного времени. Поэтому представляет интерес получение эффективных двусторонних оценок для тензоров поляризуемости тела, компоненты которых представляют собой функционалы на решениях стационарных краевых задач. В книге с помощью методов теории двойственности [68, 144] получены верхние и нижние оценки диагональных компонент тензоров поляризуемости и, следовательно, оценены моменты сил, действующих на проводящее твердое тело в магнитном поле. Кроме того, использование методов выпуклого анализа позволило сформулировать экстремальные принципы для диссипации энергии истинных токов в проводящей среде и энергии магнитного поля, создаваемого вихревыми токами, индуцированными в проводнике.

Установление эквивалентности традиционной постановки задачи в терминах краевых задач для систем дифференциальных уравнений и проблемы экстремума функционалов, являющихся диагональными компонентами тензоров поляризуемости, существенно расширяет возможности решения задач динамики твердого тела произвольной формы в магнитном поле. Полученные неравенства могут быть применены и для двусторонних оценок диагональных элементов тензора присоединенных моментов инерции в задаче Стокса - Жуковского о вращении тела с полостью, целиком заполненной идеальной жидкостью.

Гл. V посвящена исследованию механических задач. возникающих при рассмотрении движения проводящего твердого тела произвольной формы в однородном магнитном поле при большой глубине проникновения поля в проводник. В случае, когда кинетическая энергия тела велика по сравнению с моментом сил, создаваемых магнитным полем, при помощи метода осреднения построены эволюционные уравнения для медленных переменных задачи. В качестве порождающего решения общей схемы осреднения используется известное решение Эйлера - Пуансо движения твердого тела около неподвижной точки, которое рассматривается как нулевое приближение к искомому возмущенному движению. В качестве примера использования построенных осредненных уравнений рассматривается задача о влиянии вихревых токов на вращение и ориентацию спутника. Показывается, что при угловых скоростях вращения спутника, меньших его орбитальной скорости, момент от вихревых токов может приводить к раскрутке спутника. Определяются стационарные вращения спутника и исследуется их зависимость от наклонения плоскости орбиты и соотношения между компонентами тензора поляризуемости спутника. Устанавливается аналогия между моментом от вихревых токов и моментом приливных сил, действующих на деформируемое небесное тело в гравитационном поле притягивающего центра. Анализируется существование и устойчивость стационарных вращений небесного тела в зависимости от соотношения между компонентами тензора приливного момента.

В качестве другого приложения рассматриваемой задачи в гл. V исследуется раскрутка ротора неконтактного гироскопа вращающимся магнитным полем. Анализ осредненных уравнений показывает, что вектор кинетического момента стремится совпасть с осью вращения магнитного поля. В случае, когда эллипсоид инерции ротора сжат, ось динамической симметрии ротора стремится совпасть с вектором кинетического момента. В случае вытянутого эллипсоида инерции окончательным движением будет вращение вокруг оси, перпендикулярной оси динамической симметрии. В случае, когда коэффициенты поляризуемости ротора относительно главных осей инерции не равны между собой, обнаружено существование критического значения вектора кинетического момента гироскопа, при котором скорость изменения угла нутации обращается в нуль, а угол нутации достигает своего экстремального значения.

Рассматривается процесс раскрутки ротора неконтактного гироскопа вращающимся магнитным полем с учетом сопротивления среды. Определяются условия устойчивости стационарного вращения ротора гироскопа как в резонансном, так и в нерезонансном случаях. Рассмотрены стационарные режимы, допускаемые осредненными уравнениями, полученными в нерезонансном случае. Найдены области в пространстве параметров, в которых возможно существование устойчивых регулярных прецессий ротора гироскопа.

Исследуется устойчивость стационарных вращений твердого тела с произвольным эллипсоидом инерции во вращающемся и постоянном магнитных полях. Анализ корней характеристического уравнения позволяет оценить быстроту затухания угловых колебаний твердого тела и рассмотреть вопрос о выборе моментов инерции тела, обеспечивающих наиболее быстрое приведение оси наибольшего момента инерции тела к оси вращения магнитного поля в силу линеаризованной системы уравнений.

В конце гл. V изучено некоторое резонансное движение динамически симметричного твердого тела во вращающемся магнитном поле. Это движение представляет собой регулярную прецессию, при которой вектор кинетического момента тела направлен по оси вращения поля, а ось симметрии тела совпадает с вектором напряженности магнитного поля (в этом случае возникает резонанс 1:1 между частотой прецессии и частотой вращения магнитного поля). Характеристическое уравнение для линеаризованной системы уравнений имеет нулевые корни, и анализ устойчивости указанной регулярной прецессии при помощи методов теории критических случаев [119] позволяет сделать вывод о неустойчивости по Ляпунову найденного резонансного движения.

В гл. VI анализируется динамика твердого тела, имеющего проводящую область, обладающую сферической симметрией, при произвольной глубине проникновения магнитного поля в проводник. В случае быстрых вращений твердого тела удается провести разделение быстрых и медленных составляющих движения в совместной системе уравнений электродинамики и твердого тела. При этом электродинамическая часть задачи сводится к известной стационарной краевой задаче, допускающей для сферы или сферической оболочки решение стандартным методом разделения переменных. Механическая часть задачи после процедуры осреднения в нерезонансном случае сводится к исследованию нелинейных уравнений движения твердого тела, записанных в оскулирующих переменных.

Выписываются осредненные уравнения, построенные в случаях движения в однородном постоянном, переменном и вращающемся магнитных полях как динамически симметричного твердого тела, так и твердого тела с произвольным эллипсоидом инерции при малых отклонениях оси наибольшего момента инерции тела от вектора кинетического момента. В случае переменного магнитного поля указывается на возможность существования ускоряющего момента и стационарных движений, при которых ось симметрии тела не совпадает с вектором кинетического момента. Кроме того, определяются стационарные режимы движения твердого тела, представляющие собой медленные прецессии вектора кинетического момента вокруг направления, вдоль которого изменяется сектор напряженности магнитного поля.

В случае вращающегося магнитного поля найдены условия убывания амплитуды нутационных колебаний твердого тела. Определено движение шарового гироскопа при малых отклонениях оси симметрии ротора от оси статора двигателя.

Автор надеется, что предлагаемая книга может оказаться полезной для специалистов, разрабатывающих электромеханические системы различных назначений.