В задачах 1.89 - 1.92 найти кинетическую энергию и обобщенную силу

Задача 89
1.89. Оси цилиндров радиуса R соединены спарником. Верхний цилиндр катится без проскальзывания по пластинке, скользящей по вертикальной плоскости. Нижний цилиндр находится в зацеплении с верхним и катится по горизонтальной поверхности. К верхнему цилиндру массой m1 приложен момент M, масса спарника m2. За обобщенную координату принять угол поворота спарника j.
Решение
Кинетическая энергия первого тела:
T1 = 1
2
 m1R2
2
 w1z2 + 1
2
 m1(VBx2+VBy2).
Кинетическая энергия второго тела:
T2 = 1
2
 4m1R2
12
Ч
j
 
 2
 
 + 1
2
 m2(VDx2+VDy2).
Обозначим угловую скорость диска без массы как w3z. Выпишем граф O ® A ® B. Пройдём его по спарнику:
VBx = - R w3z - 2R
Ч
j
 
 sinj = 0,

VBy = 2R
Ч
j
 
 cosj.
Откуда получаем:
w3z = - 2
Ч
j
 
 sinj.
Выпишем граф O ® A ® D ® B. Пройдём его по дискам:
VBx = - R w3z - Rw3zsinj- Rw1zsinj = 0.
Откуда получаем:
w1z = 2
Ч
j
 
 (1+sinj)
Скорость точки D определим из графа O® A ® D, где A ® D, пройдём по спарнику:
VDx = - Rw3z - R
Ч
j
 
 sinj = R
Ч
j
 
 sinj,

VDy = R
Ч
j
 
 cosj.
Итак, полная кинетическая энергия системы равна:
T = T1+T2 = 1
2
 m1R2
2
 w1z2 + 1
2
 m1(VBx2+VBy2)+ 1
2
 4m1R2
12
Ч
j
 
 2
 
 + 1
2
 m2 (VDx2+VDy2).
Или

T = R2
Ч
j
 
 2
 
 (2m1+ 2
3
 m2+2m1sinj+m1 cos2 j).
Вычислим обобщённую силу:

Q = 1
Ч
j
 (Mw1z - m1 g VBy - m2 gVDy).
Или Q = 2M(1+sinj) - (2m1+m2)gRcosj.

Задача 90
1.90. Оси цилиндров радиуса R соединены спарником. Верхний цилиндр катится без проскальзывания по пластинке, скользящей по вертикальной плоскости. Нижний цилиндр находится в зацеплении с верхним и катится по горизонтальной поверхности. К нижнему цилиндру массой m1 приложен момент M. Масса пластинки m2. За обобщенную координату принять угол поворота спарника j.
Решение
Кинетическая энергия первого тела:
T1 = 1
2
 m1R2
2
 w1z2 + 1
2
 m1VAx2.
Кинетическая энергия второго тела:
T2 = 1
2
 m2VCy2.
Обозначим угловую скорость диска без массы как w3z. Выпишем граф O ® A ® B. Пройдём его по спарнику:
VBx = - R w1z - 2R
Ч
j
 
 sinj = 0,

VBy = 2R
Ч
j
 
 cosj.
Откуда получаем:
w1z = - 2
Ч
j
 
 sinj.
Выпишем граф O ® A ® D ® B. Пройдём его по дискам:
VBx = - R w1z - Rw1zsinj- Rw3zsinj = 0 .
Откуда получаем:
w3z = 2
Ч
j
 
 (1+sinj).
Скорость точки А определим из графа O® A:
VAx = - R w1z = 2R
Ч
j
 
 sinj.
Скорость точки C определим из графа B® C:
VCy = VBy+Rw3z = 2R
Ч
j
 
 (1+sinj+cosj).
Итак, полная кинетическая энергия системы равна:
T = T1+T2 = 1
2
 m1R2
2
 w1z2 + 1
2
 m1 VAx2+ 1
2
 m2 VCy2.
Или
T = R2
Ч
j
 
 2
 
 (3m1sin2j+2m2(1+sinj+cosj)2).
Вычислим обобщённую силу:

Q = 1
Ч
j
 ( - Mw1z - m2 g VCy).
Или Q = 2Msinj- 2m2gR(1+sinj+cosj).

Задача 91
1.91. Оси цилиндров радиуса R соединены спарником. Верхний цилиндр катится без проскальзывания по боковой грани параллелепипеда массой m1, скользящего по горизонтальной плоскости. Нижний цилиндр, вращающийся на неподвижной оси, находится в зацеплении с верхним. К верхнему цилиндру массой m2 приложен момент M.За обобщенную координату принять угол поворота спарника j.
Решение
Кинетическая энергия первого тела:
T1 = 1
2
 m1VCx2
Кинетическая энергия второго тела:
T2 = 1
2
 m2R2
2
 w2z2 + 1
2
 m2(VBx2+VBy2).
Выпишем граф O® B. Пройдём его по спарнику:
VBx = - 2R
Ч
j
 
 sinj,

VBy = 2R
Ч
j
 
 cosj.
Выпишем граф B ® C:
VCx = VBx

VCy = VBy+Rw2z = 0
Откуда получаем:
w2z = - 2
Ч
j
 
 cosj.
Итак, полная кинетическая энергия системы равна:
T = T1+T2 = 1
2
 m1VCx2+ 1
2
 m2R2
2
 w2z2 + 1
2
 m2 (VBx2+VBy2).
Или
T = R2
Ч
j
 
 2
 
 (2m2+2m1sin2j+m2cos2j).
Вычислим обобщённую силу:
Q = 1
Ч
j
 (Mw2z - m2 g VBy).
Или
Q = - 2Mcosj - 2m2gRcosj.

Задача 92
1.92. Оси цилиндров радиуса R соединены спарником. Верхний цилиндр катится без проскальзывания по боковой грани параллелепипеда массой m1, скользящего по горизонтальной плоскости. Нижний цилиндр находится в зацеплении с верхним и катится по горизонтальной плоскости. К нижнему цилиндру массой m2 приложен момент M. За обобщенную координату принять угол поворота спарника j.
Решение
Кинетическая энергия первого тела:
T1 = 1
2
 m1VCx2
Кинетическая энергия второго тела:
T2 = 1
2
 m2R2
2
 w2z2 + 1
2
 m2VAx2
Обозначим угловую скорость диска без массы как w3z.
Выпишем граф O ® A ® B ® C. Пройдём его по спарнику:
VCx = - Rw2z - 2R
Ч
j
 
 sinj,

VCy = 2R
Ч
j
 
 cosj+Rw3z = 0.
Откуда получаем:
w3z = - 2
Ч
j
 
 cosj
Пройдём тот же граф по дискам:
VCy = Rw2zcosj+Rw3zcosj+Rw3z = 0
Откуда получаем:
w2z = 2
Ч
j
 
 (1+cosj)

VCx = - 2R
Ч
j
 
 (1+sinj+cosj)
Скорость точки А определим из графа O® A:
VAx = - R w2z = - 2R
Ч
j
 
 (1+cosj)
Итак, полная кинетическая энергия системы равна:
T = T1+T2 = 1
2
 m1VCx2+ 1
2
 m2R2
2
 w2z2 + 1
2
 m2 VAx2
Или
T = R2
Ч
j
 
 2
 
 (2m1(1+sinj+cosj)2+3m2(1+cosj)2)
Вычислим обобщённую силу:
Q = 1
Ч
j
 ( - Mw2z).
Или Q = - 2M(1+cosj).


File translated from TEX by TTH, version 3.64.
On 30 Dec 2004, 08:46.