Уравнение Лагранжа 2-го рода
Приведем краткие решения некоторых задач. В решении задач на составление уравнения Лагранжа 2-го рода наибольшая трудность состоит в нахождении кинетической энергии и обобщенной силы. Здесь даны именно эти вычисления. Дифференцирование же кинетической энергии по обобщенной координате в основном одинаково для всех задач. Например, если кинетическая энергия имеет вид

кинетическая энергия

то частные производные легко вычисляются:

частные производные

Полная производная по времени

Полная производная

Окончательно уравнение примет вид


Аналогичные задачи см. Кирсанов М.Н. Решебник. Теоретическая механика/Под ред. А. И. Кириллова.- М.:ФИЗМАТЛИТ, 2002.- 384 c. (с. 300.) . Информацию об этой книге и Maple-программы для решения задач можно найти на сайте WWW.AcademiaXXi.ruWWW.AcademiaXXi.ru, заказ книги -- WWW.FizmatKniga.ruWWW.FizmatKniga.ru

.

Задача 1

Задача 1
Условие

Решение

Составляем кинематический граф

Правила составления графов см. Решебник. Теор.механика

где С - точка касания диска и груза. Соответствующие уравнения для проекций скоростей

Горизонтальная скорость


Вертикальная скорость (нулевая)

Учитывая, что и , получим угловую скорость диска и скорость груза


Вычислим кинетическую энергию груза, совершающего поступательное движение


Из графа

граф

сразу же следует

Скорость


Скорость

и . Кинетическая энергия плоского движения диска


Суммарная кинетическая энергия имеет вид


Обобщенная сила

Обобщенная сила

Задача 2


Задача 2
Условие

Решение

Составляем кинематический граф


Соответствующие уравнения для проекций скоростей




Учитывая, что , получим




Для вычисления обобщенной силы потребуется угловая скорость цилиндра. Найдем ее из графа


где С - точка касания диска. Получим


или


откуда


Определим скорость центра масс стержня, составим кинематический граф






Вычислим кинетическую энергию однородного цилиндра, катящегося по неподвижной поверхности,

Эта формула часто используется в таких задачах

Вычислим кинетическую энергию стержня, совершающего плоское движение


Суммарная кинетическая энергия имеет вид


Обобщенная сила