Прямолинейный стержень длиной l, закрепленный на левом конце в упругой опоре, а на правом в подвижном шарнире, сжимается продольной силой P. Задана относительная жесткость EJ/(c2l)=1, где c2 - жесткость пружины Mупр=c2Dj. Определить коэффициент m приведения длины стержня.


Решение
1. Решение дифференциального уравнения продольного изгиба
w(4)+k2w"=0
где k2=P/EJ, ищем в виде
w=Asinkx +Bcoskx + Cx+ D
(1)
где x - продольная координата с началом на левом конце стержня.
2. Выписываем краевые условия на левом конце. Прогиб стержня на шарнирной опоре с упругим закреплением отсутствует, а угол поворота пропорционален моменту:
w(0)=0,  cwў(0)=EJw"(0).
(2)
На другом конце (x=l) - шарнир идеальный. В нем равны нулю и прогиб и момент
w(l)=0,  EJw"(l)=0.
(3)
3. Для получения производных, входящих в краевые условия, дифференцируем (1). Получаем

wў=-Akcoskx -Bksinkx + C,
w"=-Ak2sinkx -Bk2coskx
(4)
4. Для определения констант A, B, C, D с учетом (1), (2), (3), (4), получаем следующую однородную систему
B+D=0,
c(Ak+C)=-EJBk2,
Asinkl +Bcoskl + Cl+ D=0,
-Ak2sinkl -Bk2coskl=0.
(5)
5. Приравниваем нулю определитель системы. Получаем условие для ненулевого решения, т.е. условие потери устойчивости стержня
sint- tcost+t2bsint=0,
(6)
где t=kl, b=EJ/(cl).
6. Решаем численно уравнение (6) при b=1. Минимальный положительный корень уравнения t=3.406. Коэффициент приведения длины равен m = p/t=0.922.
mpei2004@yandex.ru