1  Вращение твердого тела вокруг точки

1.1  Углы Эйлера

Рассмотрим движение по отношению к системе отсчета Ox1y1z1 твердого тела, закрепленного так, что одна его точка О остается во все время движения неподвижной. Такое движение совершает, например, волчок, у которого неподвижна точка его опоры о плоскость, или любое другое тело, закрепленное в точке O шаровым шарниром. Найдем, какими параметрами определяется положение тела, имеющего неподвижную точку. Для этого свяжем жестко с телом трехгранник Oxyz, по положению которого можно судить о положении тела (рис. 1). Линия OK, вдоль которой пересекаются плоскости Oxy и Ox1y1, называется линией узлов. Тогда положение по отношению к осям Ox1y1z1 трехгранника Oxyz, а с ним и самого тела можно определить углами:
j = РKOx;y = Рx1OK;q = Рz1Oz
(1)
Эти углы, называемые углами Эйлера, имеют следующие, взятые из небесной механики наименования, j - угол собственного вращения, y - угол прецессии, q - угол нутации. Положительные направления отсчета углов показаны на рис. 1 стрелками. Чтобы знать движение тела, надо знать его положение по отношению к осям Ox1y1z1 в любой момент времени, т.е. знать зависимости:
j = f1(t);y = f2(t);q = f3(t)
(2)
Эти уравнения, определяющие закон происходящего движения, называются уравнениями движения твердого тела вокруг неподвижной точки.

Рис. 1

Рис. 2
                                               

1.2  Кинематические уравнения Эйлера

Найдем проекции угловой скорости на подвижные оси координат. Примем (без доказательства), что
®
w
 
 =
Ч
®
y
 
 +
Ч
®
q
 
 +
Ч
®
j
 
 .
Выполним дополнительное построение. Проведем плоскость, проходящую через оси 0z и 0z1. Линию пересечения этой плоскости и подвижной плоскости x0y обозначим 0L. Разложим
Ч
®
y
 
на компоненты
Ч
®
y
 
 sinj
и
Ч
®
y
 
 cosj
(рис. 1). Используя равенство углов со взаимно перпендикулярными сторонами (0L^0K, 0x^0y), заметим, что угол между 0y и 0L равен j. Отсюда, раскладывая компоненту
Ч
®
y
 
 sinj
по осям 0x и 0y, получим
wx=
Ч
y
 
 sinjsinq+
Ч
q
 
 cosj,
wy=
Ч
y
 
 cosjsinq-
Ч
q
 
 sinj,
wz=
Ч
y
 
 cosq+
Ч
j
 
 .
Эти уравнения называются кинематическими уравнениями Эйлера для определения проекции угловой скорости на подвижные оси координат при сферическом движении.


File translated from TEX by TTH, version 3.63.
On 21 Oct 2004, 22:18.