Дискретная математика. Программа курса (2 часть)
Дискретная математика. Темы для подготовки к экзамену (МЭИ(ТУ), 2007г)
Кафедра теоретической механики и мехатроники
  1. Множество, подмножество, собственное подмножество. Объединение множеств, пересечение, разность, симметрическая разность, абсолютное дополнение. Универсальное множество. Свойства операций* (коммутативность, ассоциативность, дистрибутивность, идемпотентность). Свойства универсального и пустого множеств. Закон двойного дополнения. Законы де Моргана. Парадокс Рассела.

  2. Булеан. Мощность множества. Мощность булеана Прямое произведение. Упорядоченная пара. Три свойства прямого произведения*. Соответствие между множествами. Область определения соответствия. Первая проекция соответствия. Область значений соответствия. Вторая проекция. Сечение соответствия. Обратное соответствие. Пустое соответствие. Полное соответствие. Композиция соответствий.

  3. Характеристическая функция.
  4. Условие существования композиции.

  5. Отображение. Отображение функциональное. Шесть свойств отображений*. Сюръективное, инъективное, биективное отображение. Композиция отображений. Ассоциативность композиции отображений. Обратное отображение. Единичное отображение. Левое и правое обратное отображение. Лемма о единичной композиции двух отображений*. Теорема о существовании обратного отображения*.

  6. Отношения унарные и бинарные. Граф отношения. Матрица отношения. Единичное отношение. Полное отношение. Обратное отношение. Свойства отношений (рефлексивность, антирефлексивность, симметричность, антисимметричность, асимметричность, транзитивность). Композиция бинарных отношений. Условие транзитивности*. Замыкание отношения. Рефлексивное замыкание. Транзитивное замыкание. Теорема о виде транзитивного замыкания. Вид транзитивного рефлексивного замыкания. Два алгоритма нахождения транзитивного замыкания. Отношение эквивалентности. Класс эквивалентности. Фактор-множество. Разбиение. Отношение порядка. Предпорядок. Полный порядок. Частичный порядок. Строгий порядок. Диаграмма Хассе. Отношение Паретто. Алфавит. Лексикографический порядок.

  7. Бинарная операция на множестве. Ассоциативность, коммутативность бинарной операции. Единичный элемент. Единственность единичного элемента. Полугруппа. Моноид. Обратный элемент моноида. Группа. Четыре аксиомы, которым удовлетворяет группа. Мультипликативная и аддитивная группа. Абелева группа. Подгруппа. Собственная подгруппа. Таблица Кэли. Свойство столбцов (строк) таблицы Кэли*. Симметрическая группа. Циклическая группа. Конечная и бесконечная группа. Сравнение по модулю m. Изоморфные группы. Кольцо. Поле.

  8. Элементы математической логики. Конъюнкция, дизъюнкция, отрицание, импликация, эквиваленция, сложение по модулю 2. Основные законы логики. Булевы функции. Совершенные дизъюнктивные нормальные формы. Сокращенная и минимальная ДНФ. Упрощение логических функций. Матрица Квайна. Импликанты и конституенты единицы. Упрощение переключательных схем. Полином Жегалкина.




Письменный экзамен на 80 мин. Критерий оценки:
10 отл., 9,8 - хор., 7,6 - удовл.


Билет №1 к экзамену по дискретной математике -->
Литература.
Показеев В.В., Матяш В.И., Черкесова Г.В., Кирсанов М.Н. Курс Лекций. Элементы дискретной математики. с.72, с.108-109, с.124-125 и др.
Судоплатов С.В., Овчинникова Е.В.Элементы дискретной математики. М.: 2002.