Предположим, что задано непустое множество E и его подмножество A М E. Характеристической функцией подмножества A называется отображение cA множества E на
множество B = { 0, 1 }, заданное условиями:
Очевидно, два подмножества A М E и B М E равны
тогда и только тогда, когда c A (x) = c B (x). Кроме этого, отметим следующие свойства
характеристической функции, которые выполняются для любого
элемента x О A и для любых двух подмножеств A М E и B М E:
|
c E (x) = 1 и c Ж (x) = 0; |
|
|
c A ЗB (x) = c A (x) Щc B (x); |
|
|
c A ИB (x) = c A (x) Ъc B (x). |
|
В третьем и четвертом свойствах символами Щ и Ъ
обозначены логические "умножение" и "сложение" соответственно
.
Пример 1.20. Пусть E = {a,b,c,d,e} и A = {a,b,d}, B = {c,d}. Поскольку множество E конечно, мы можем задать
характеристические функции c A (x) и cB (x) перечислением всех упорядоченных пар значений:
|
cA (x) = {(a, 1) ;(b, 1);(c, 0);(d, 1);(e ,0)}, |
|
|
cB (x) = {(a , 0) ;(b , 0);(c, 1);(d , 1);(e , 0)}. |
|
Теперь, используя логические операции, вычислим значения
характеристических функций объединения и пересечения двух
множеств:
|
c A ИB (x) = c A (x) Ъc B (x) = |
|
|
= {(a , 1 Ъ0) ; (b , 1 Ъ0) ; (c , 0 Ъ1) ;(d , 1 Ъ1) ;(e,0 Ъ0)} = |
|
|
= {(a , 1) ; (b , 1) ; (c , 1) ;(d , 1) ;(e, 0)}. |
|
Вид результата вычислений позволяет утверждать, что объединение AИB содержит элементы a,b,c,d, и только эти элементы. С
учетом следующего равенства
|
c A ЗB (x) = c A (x) Щc B (x) = |
|
|
= {(a , 1 Щ0) ; (b , 1Щ0) ; (c , 0 Щ1) ;(d , 1 Щ1) ;(e,0 Щ0)} = |
|
|
= {(a , 0) ; (b , 0) ; (c , 0) ;(d , 1) ;(e, 0)}, |
|
мы можем сделать вывод о том, что пересечение A ЗB
содержит только один элемент d. Нетрудно заметить, что
вычисление значений характеристической функции позволяет
подтверждать различные равенства или вложения в теории множеств.
|
