МЭИ, инновационная программа
УДК 531.01 М.Н. Кирсанов,
МЭИ(ТУ)
Уравнение трех угловых скоростей и теорема трапеции

Кинематику плоского движения тела в курсе теоретической механики обычно изучают на примере многозвенных механизмов. Помимо практической направленности, особенно актуальной в эпоху развития роботостроения, эта задача имеет и методический интерес. Здесь реализуется одно из основных старых как мир методических правил - "повторение - мать учения". Практически одни и те же действия студент выполняет столько раз, сколько звеньев у механизма. Для вычисления скоростей, например, при этом традиционно используется несколько приемов (способов): аналитический, метод нахождения мгновенных центров скоростей, план скоростей. Иногда применяют геометрический метод - нахождение координат, как функций времени и дифференцирование их один раз (для скоростей) или два раза (для ускорений). Можно также использовать теорему о проекциях скоростей точек на неизменяемый отрезок и теорему о концах векторов скоростей того же отрезка.

Дополним этот список еще одним способом.
Рассмотрим четырехзвенный механизм 1 (рис.1).

Четырехзвенник
Рис.1
Для угловых скоростей звеньев справедливы уравнения
w1(y2-y1)+w2(y3-y2)+w3(y4-y3)=0,
(1)

w1(x2-x1)+w2(x3-x2)+w3(x4-x3)=0.
(2)
Докажем первое уравнение. Горизонтальный размер c выразим через длины звеньев
l1cosj1+l2cosj2-l3cosj3 = c.
Угол j3 тупой, отсюда знак минус в последнем слагаемом. Дифференцируя это равенство по времени, получим
-l1sinj1w1-l2sinj2w2+l3sinj3w3 = 0.
Так как l1sinj1 = y2-y1, l2sinj2 = y3-y2, l3sinj3 = y3-y4, то отсюда следует (1). Точно также доказывается и второе уравнение.
Дифференцируя (1) и (2) еще раз, получим уравнения трех угловых ускорений
e1(x2-x1)+e2(x3-x2)+e3(x4-x3)-
- w12(y2-y1)-w22(y3-y2)-w32(y4-y3)=0,
(3)

e1(y2-y1)+e2(y3-y2)+e3(y4-y3)+
+ w12(x2-x1)+w22(x3-x2)+w32(x4-x3)=0,
(4)
Для расчета четырехзвенного механизма, одна из угловых скоростей которого обычно задана, необходимо сначала решить систему двух уравнений и двух неизвестных (1-2), а затем систему (3-4), в которой должно быть задано угловое ускорение одного из звеньев (например, e1 = 0). Как правило, задается e и w одного и того же звена. При этом задача упрощается, так как определители систем совпадают.
Теорема трапеции
Рис.2
Следствие из теоремы трапеции
Рис.3
В тех случаях, когда y2=y3, y1=y4 и четырехзвенник приобретает форму трапеции (рис.2), из уравнений трех угловых скоростей сразу следуют соотношения
w1 = w3,  w2 = w1(1- c

b
).
Из уравнений трех угловых ускорений при e1=0 имеем
e3 = w12 c(c-b)

bh
e2 = - e3 d

b
.
Эти соотношения и выражают суть теоремы трапеции.
Если четырехзвенник имеет произвольную форму, отличную от трапеции (рис.3), то угловые скорости боковых звеньев удовлетворяют простому соотношению
h1w1 = w3h2,
(5)
совпадающему по форме с соотношением угловых скоростей в задаче о передаче вращений.

Из равенства (5) следует метод (альтернативный МЦС и плану скоростей) расчета скоростей точек механизмов, содержащих четырехзвенники. Для этого через шарниры четырехзвенника параллельно среднему звену проводят линии, называемые линиями шарниров. Размеры h1 и h2 определяются графически или аналитически. Затем из соотношения (5) определяют неизвестную угловую скорость. Если линии шарниров лежат по разные стороны среднего звена ("2-3"), то один из размеров h1 или h2 - отрицательный, и угловые скорости имеют разный знак.


Примечание:

1три подвижных звена и одно неподвижное - "земля"
См. Решебник. Теоретическая механика. М.:Физматлит, 2008. (2-е издание)