1. Первообразная. Неопределенный интеграл. Свойства неопределенного интеграла. Таблица интегралов. Замена переменной. Интегрирование по частям.

Определение. Функция F(x) называется первообразной от функции f(x) на отрезке [a;b], если во всех точках этого отрезка выполняется равенство F`(x) = f(x).

(-cos x)` = sin x

(1-cos x)` = sin x

Функция  f(x) непрерывная функция на отрезке [a;b].

Теорема. Если функция F1(x) b F2(x) - две первообразные от функции f(x) на отрезке [a;b], то разность между ними равна постоянному числу.

                                                             Доказательство.

F1`(x) = f(x)                                                                                                                               (1)

F2`(x) = f(x), то F1`(x) - F2`(x) = Const.

φ(x) = F1 - F2

φ`(x) = F1` - F2` = 0

Т.е.  обозначим:

F1 (x) - F2 (x) = φ(x)                                                                                                                   (2)

Тогда на основании равенств (1) будет:

F1`(x) - F2`(x) = f(x) - f(x) = 0  или  φ`(x) = [F1 (x) - F2 (x)]` = 0   при любом значении x на отрезке [a;b]. Но из равенства φ`(x) = 0 следует, что φ(x) есть постоянная.

Действительно, применим теорему Лагранжа к функции φ(x), которая, очевидно, непрерывна и дифференцируема на отрезке [a;b]. Какова ни была точка x на отрезке [a;b], мы имеем в силу теоремы Лагранжа.             

                   φ (x) - φ (a) = φ` (x) (x-a), где a<x<x.

Так как φ` (x) = 0, то φ (x) - φ (a) = 0   или φ (x) = φ (a)                                                          (3)

Таким образом, функция φ(x) в любой точке x отрезка [a;b] сохраняет значения φ(a), а это значит, что функция φ(x) является постоянной на отрезке [a;b]. Обозначая постоянную φ(a) через С, из равенств (2), (3) получаем:     

  F1 (x) - F2 (x) = С

Определение. Если функция F (x) является первообразной для f (x), то выражение F (x) + С называется неопределённым интегралом от функции f (x) и обозначается символом ∫ f (x) dx. Таким образом, по определению,

∫ f (x) dx = F (x) + С, если F (x) = f (x).

При этом функцию f (x) называют подынтегральной функцией, f (x) dx - подынтегральным выражением, знак ∫ - знаком интеграла. 

 Из этого определения следуют свойства:
1. Производная от неопределённого интеграла равна подынтегральной функции, т.е. если       F`(x) = f (x), то и

( ∫ f (x) dx )` = (F (x) + C)` =  f (x)                                                                                                (4)

Последнее равенство нужно принимать в том смысле, что производная от любой первообразной равна подынтегральной функции.

2. Дифференциал от неопределённого интеграла равен подынтегральному выражению

d ( ∫ f (x) dx ) = f (x) dx                                                                                                                 (5)

Это получается на основании формулы (4)

3. Неопределённый интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции плюс произвольная постоянная

∫ dF (x) = F (x) + C

Справедливость последнего равенства легко проверить  дифференцированием (дифференциала  от обоих частей равенства равны dFx))

                                           Таблица неопределённых интегралов.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11. 

12.

13.

14.

                                                             Линейные свойства.

Интегрирование - есть линейная операция.

1. ∫ [f1 (x) + f2 (x)] dx =  ∫ f1 (x) dx + ∫ f2 (x) dx

∫ a f (x) dx = a ∫ f (x) dx

∫ f (x) dx = F (x) + C

2. ∫ f (x+c) dx = F (x+c) + C

3. Подстановка. 1-ый способ вычисления неопределённых интегралов.

x = φ (t), тогда  ∫ f  (φ (t)) φ` (t) dt = F (x) + C = ∫ f (x) dx

x = φ (t) dx dt = φ`

                                                        Интегрирование по частям.

 Пусть u и v - две дифференцируемые функции от x. Тогда, как известно, дифференциал произведения uv вычисляется по следующей формуле:

 d(uv) = udv + vdu

Отсюда, интегрируя, получаем:

uv = ∫ udv +  ∫vdu

или ∫ udv = uv - ∫vdu

Последняя формула называется формулой интегрирования по частям. Эта формула чаще всего применяется к интегрированию выражений, которые можно так представить в виде произведения двух сомножителей u и dv, чтобы отыскание функции v по её дифференциалу dv и вычисление интеграла ∫v du составляли в совокупности задачу более простую, чем непосредственное вычисление интеграла  ∫ u dv.

Пример.  ∫ x sin x dx = ∫ - x cos x + ∫ cos x dx = -x cos x + sin x + C

Т.к. u = v, dv = sin x dx   и   du = dx, v = - cos x.