Вопросы к экзамену по высшей математике
(АиУ-6, Уи-7,8,9. 2005)
Интегралы
- Первообразная. Неопределенный интеграл. Определение.
- Таблица интегралов.
- Свойства неопределенных интегралов.
- Способы интегрирования. Замена переменных. Способы интегрирования функций, содержащих квадратный трехчлен.
- Интегрирование по частям.
- Правильные и неправильные рациональные дроби. Интегралы от рациональных дробей.
- Интегралы от иррациональных функций.
- Три подстановки Эйлера.
- Интегрирование дифференциального бинома.
- Интегралы от тригонометрических функций. Универсальная подстановка.
- Функции, интегралы от которых не выражаются через элементарные функции. Эллиптический интеграл. Интегральный синус, косинус, логарифм.
- Определенный интеграл. Существование. Нижняя и верхняя интегральные суммы. Равномерная непрерывность функции.
- Шесть свойств определенного интеграла, включая теорему о среднем.
- Формула Ньютона-Лейбница.
- Несобственные интегралы. Сходимость и абсолютная сходимость. Интеграл от разрывной функции.
- Дифференцирование интеграла, зависящего от параметра.
- Приложение определенного интеграла. Площадь плоской фигуры в декартовой и полярной системе координат.
- Длина дуги кривой, заданной параметрически.
- Длина дуги. Длина дуги в полярных координатах.
- Вычисление объем тела по параллельным сечениям.
- Вычисление объем тела вращения.
- Поверхность тела вращения.
- Центр тяжести и моменты инерции. Примеры (круг, дуга окружности).
- Двойной интеграл. Свойства. Правильная область. Вычисление с помощью двукратного интеграла.
- Изменение пределов интегрирования в двойном интеграле. Вычисление объема.
- Двойной интеграл в полярной системе координат. Функциональный определитель Якоби. Пример применения.
- Вычисление площади поверхности и моментов инерции с помощью двойного интеграла.
- Тройной интеграл и его вычисление.
- Криволинейный интеграл. Свойства.
- Формула Грина.
- Условие независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования.
- Поверхностный интеграл. Формула Стокса.
- Формула Остроградского.
- Элементы теории поля. Определение поля. Потенциал. Ротор. Условие потенциальности. Связь с оператором Гамильтона.
- Элементы теории поля. Дивергенция. Градиент. Оператор Лапласа. Гармонические функции. Связь с оператором Гамильтона. Специальные поля.
Ряды
- Ряды. Частичные суммы. Отбрасывание нескольких членов ряда.
- Необходимый признак сходимости ряда.
- Достаточный признак расходимости ряда.
- Теоремы сравнения. Доказательство расходимости гармонического ряда.
- Признак Даламбера. Пример.
- Признак Коши. Пример.
- Интегральный признак. Пример.
- Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Абсолютная сходимость. Условная сходимость.
- Функциональные ряды. Область сходимости.
- Степенные ряды. Радиус сходимости.
- Признак Раабе.
Признак Бертрана. Признак Гаусса. Признак логарифмический.
- Функциональные ряды. Равномерная сходимость. Признак Вейерштрассе. Интегрирование
и дифференцирование ряда.
- Суммирование рядов
Дискретная математика
-
Множества, собственное подмножество. Объединение
множеств, пересечение, разность, симметрическая разность, абсолютное дополнением.
Универсальное множество.
Свойства операций (коммутативность, ассоциативность, дистрибутивность, идемпотентность).
-
Свойства универсального и пустого множеств. Закон двойного
дополнения.Законы де Моргана. Парадокс Рассела. Булеан. Мощность
множества. Мощность булеана.
-
Прямое произведение. Упорядоченная пара. Три свойства прямого произведения.
Соответствие между множествами.
-
Отображение. Отображение функциональное.
Шесть свойств отображений. Сюръективное, инъективное, биективное
отображение.
-
Композиция отображений. Ассоциативность композиции отображений.
Обратное отображение. Единичное отображение. Левое и правое обратное отображение.
-
Лемма о единичной композиции двух отображений.
Теорема о существовании обратного отображения.
-
Отношения унарные и бинарные. Граф отношения.Матрица
отношения. Единичное отношение. Полное отношение. Обратное
отношение. Свойства отношений (рефлексивность, антирефлексивность,
симметричность, антисимметричность, асимметричность,
транзитивность).
-
Замыкание отношения. Рефлексивное замыкание.
Транзитивное замыкание. Теорема о виде транзитивного замыкания.
Вид транзитивного рефлексивного замыкания.
-
Бинарная операция. Алгебраические структуры. Полугруппа. Моноид. Группа. Таблица Кэли.
Графы
-
Граф, ребро, вершина, дуги, ориентированные и неориентированные графы.
Кратные ребра, мультиграф, петли. Конечный граф. Пустой граф.
Полный граф. Граф двудольный.
Полный двудольный граф.
-
Матрица инцидентности. Список ребер. Матрица смежности. Матрица Кирхгофа.
-
Лемма о рукопожатиях.
Изоморфные графы. Граф регулярный (однородный).
-
Маршрут. Эксцентриситет вершины.
Радиус, диаметр, центр, периферия графа.
-
Маршрут циклический. Цепь. Путь. Контур. Простая цепь. Цикл. Простой цикл.
- Дерево. Кодировка Прюфера. Двоичная и десятичная кодировки.
- Раскраски графа (вершинные, реберные, картографические). Правильные раскраски.
Хроматический полином и редукция по пустым и полным графам.
|