Вопросы к экзамену по высшей математике

(15.6.2010, Б303, 9.30, АиУ-3, Уи-4,5)

Интегралы

  1. Первообразная. Неопределенный интеграл. Определение.
  2. Таблица интегралов.
  3. Свойства неопределенных интегралов.
  4. Способы интегрирования. Замена переменных. Способы интегрирования функций, содержащих квадратный трехчлен.
  5. Интегрирование по частям.
  6. Правильные и неправильные рациональные дроби. Интегралы от рациональных дробей.
  7. Интегралы от иррациональных функций.
  8. Три подстановки Эйлера.
  9. Интегрирование дифференциального бинома.
  10. Интегралы от тригонометрических функций. Универсальная подстановка.
  11. Функции, интегралы от которых не выражаются через элементарные функции. Эллиптический интеграл. Интегральный синус, косинус, логарифм.
  12. Определенный интеграл. Существование. Нижняя и верхняя интегральные суммы. Равномерная непрерывность функции.
  13. Шесть свойств определенного интеграла, включая теорему о среднем.
  14. Формула Ньютона-Лейбница.
  15. Несобственные интегралы. Сходимость и абсолютная сходимость. Интеграл от разрывной функции.
  16. Дифференцирование интеграла, зависящего от параметра.
  17. Приложение определенного интеграла. Площадь плоской фигуры в декартовой и полярной системе координат.
  18. Длина дуги кривой, заданной параметрически.
  19. Длина дуги. Длина дуги в полярных координатах.
  20. Вычисление объем тела по параллельным сечениям.
  21. Вычисление объем тела вращения.
  22. Поверхность тела вращения.
  23. Центр тяжести и моменты инерции. Примеры (круг, дуга окружности).
  24. Двойной интеграл. Свойства. Правильная область. Вычисление с помощью двукратного интеграла.
  25. Изменение пределов интегрирования в двойном интеграле. Вычисление объема.
  26. Двойной интеграл в полярной системе координат. Функциональный определитель Якоби. Пример применения.
  27. Вычисление площади поверхности и моментов инерции с помощью двойного интеграла.
  28. Эллипс инерции. Неравенство Буняковского.
  29. Тройной интеграл и его вычисление.
  30. Криволинейный интеграл. Свойства.
  31. Формула Грина.
  32. Условие независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования.
  33. Поверхностный интеграл. Формула Стокса.
  34. Элементы теории поля. Определение поля. Потенциал. Ротор. Условие потенциальности. Связь с оператором Гамильтона.
  35. Формула Остроградского.
  36. Элементы теории поля. Дивергенция. Градиент. Оператор Лапласа. Гармонические функции. Связь с оператором Гамильтона. Специальные поля.

    37. Ряды


  37. Ряды. Частичные суммы. Отбрасывание нескольких членов ряда.
  38. Необходимый признак сходимости ряда.
  39. Достаточный признак расходимости ряда.
  40. Теоремы сравнения. Доказательство расходимости гармонического ряда.
  41. Признак Даламбера. Пример.
  42. Признак Коши. Пример.
  43. Интегральный признак. Пример.
  44. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Абсолютная сходимость. Условная сходимость.
  45. Функциональные ряды. Область сходимости.
  46. Степенные ряды. Радиус сходимости.
  47. Нахождение суммы ряда интегрированием или дифференцированием.

    48. Дискретная математика

  48. Множества, собственное подмножество. Объединение множеств, пересечение, разность, симметрическая разность, абсолютное дополнением. Универсальное множество. Свойства операций (коммутативность, ассоциативность, дистрибутивность, идемпотентность).
  49. Свойства универсального и пустого множеств. Закон двойного дополнения.Законы де Моргана. Парадокс Рассела. Булеан. Мощность множества. Мощность булеана.
  50. Прямое произведение. Упорядоченная пара. Три свойства прямого произведения. Соответствие между множествами.
  51. Отношения унарные и бинарные. Граф отношения. Матрица отношения. Единичное отношение. Полное отношение. Обратное отношение. Свойства отношений (рефлексивность, антирефлексивность, симметричность, антисимметричность, асимметричность, транзитивность).
  52. Замыкание отношения. Рефлексивное замыкание. Транзитивное замыкание. Теорема о виде транзитивного замыкания. Вид транзитивного рефлексивного замыкания.

    53. Графы

  53. Граф, ребро, вершина, дуги, ориентированные и неориентированные графы. Кратные ребра, мультиграф, петли. Конечный граф. Пустой граф. Полный граф. Граф двудольный. Полный двудольный граф.
  54. Матрица инцидентности. Список ребер. Матрица смежности.
  55. Маршрут. Эксцентриситет вершины. Радиус, диаметр, центр, периферия графа.
  56. Маршрут циклический. Цепь. Путь. Контур. Простая цепь. Цикл. Простой цикл.
  57. Дерево. Кодировка Прюфера. Двоичная и десятичная кодировки (для 3 и 4 гр.)
  58. Раскраски графа (вершинные, реберные, картографические). Правильные раскраски. Хроматический полином и редукция по пустым и полным графам. Ладейный полином (для 3 и 4 гр.).
  59. Элементы математической логики. СДНФ. Упрощение логических функций.