АиУ6. Вопросы к коллоквиуму 2

МГТУ МАМИ

Вопросы к коллоквиуму 2
Числа. Необходимость существования иррациональных чисел. Доказать, что Ц2 нельзя представить в виде рациональной дроби. Свойства модуля (абсолютной величины). Метод математической индукции. Интервал замкнутый, открытый, полуоткрытый. Три вида алгебраических функций. Общий вид алгебраических функций. Полярная система координат. Спираль Архимеда. Спираль логарифмическая. Спираль гиперболическая. Кардиоида. Лемниската. Переменная величина. Предел переменной величины. Числовая последовательность. Предел числовой последовательности. Определение предела функции. Ограниченные функции. Основные теоремы о пределах. Бесконечно большие и бесконечно малые. Теорема о пределе монотонной ограниченной числовой последовательности. Сравнение бесконечно малых функций, эквивалентность бесконечно малых функций. Первый замечательный предел. Второй замечательный предел. Непрерывность функции в точке. Непрерывность y=x². Гиперболические функции y=sh(x), y=ch(x). Определение. Графики y=sh(x), y=ch(x). Обратные гиперболические функции. Функции, непрерывные на отрезке. Разрывы 1 и 2-го рода. Непрерывность и дифференцируемость. Связь понятий. Правило дифференцирования произведения функций (с доказательством). Правило дифференцирования частного функций (с доказательством). Производная сложной функции (с доказательством). Производная обратной функции (с доказательством). Производная параметрически заданной функции (с доказательством). Производная неявной функции (пример). Производная сложно степенной функции. Пример. Производная y=log_ax (с доказательством). Производная 2-го порядка параметрически заданной функции. Дифференциал. Формула Лейбница для производной n-го порядка от произведения двух функций. Производной n-го порядка от y=sin(ax). Биноминальные коэффициенты. Треугольник Паскаля. Факториал. Нормаль. Уравнение нормали. Поднормаль. Касательная. Уравнение касательной. Подкасательная. Теорема Ролля. Теорема Лагранжа. Теорема Коши. Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей. Инвариантность формы первого дифференциала. Асимптоты графика функции. Формула Тейлора. Остаточный член формулы Тейлора в форме Лагранжа. Уравнение эвольвенты Уравнение эволюты. Определение кривизны Формула для радиуса кривизны кривой, заданной параметрически. Уравнение эвольвенты круга. Уравнение циклоиды. Достаточные условия существования экстремума Эволюта параболы Переходная кривая Теорема о приращении длины дуги эволюты. Свойство касательной к эволюте

Вопросы к коллоквиуму 2

Числа. Необходимость существования иррациональных чисел. Доказать, что Ц2 нельзя представить в виде рациональной дроби.
Свойства модуля (абсолютной величины).
Метод математической индукции.
Интервал замкнутый, открытый, полуоткрытый.
Три вида алгебраических функций. Общий вид алгебраических функций.
Полярная система координат.
Спираль Архимеда.
Спираль логарифмическая.
Спираль гиперболическая.
Кардиоида.
Лемниската.
Переменная величина. Предел переменной величины.
Числовая последовательность. Предел числовой последовательности.
Определение предела функции.
Ограниченные функции.
Основные теоремы о пределах.
Бесконечно большие и бесконечно малые.
Теорема о пределе монотонной ограниченной числовой последовательности.
Сравнение бесконечно малых функций, эквивалентность бесконечно малых функций.
Первый замечательный предел.
Второй замечательный предел.
Непрерывность функции в точке.
Непрерывность y=x².
Гиперболические функции y=sh(x), y=ch(x). Определение.
Графики y=sh(x), y=ch(x).
Обратные гиперболические функции.
Функции, непрерывные на отрезке.
Разрывы 1 и 2-го рода.
Непрерывность и дифференцируемость. Связь понятий.
Правило дифференцирования произведения функций (с доказательством).
Правило дифференцирования частного функций (с доказательством).
Производная сложной функции (с доказательством).
Производная обратной функции (с доказательством).
Производная параметрически заданной функции (с доказательством).
Производная неявной функции (пример).
Производная сложно степенной функции. Пример.
Производная y=log_ax (с доказательством).
Производная 2-го порядка параметрически заданной функции.
Дифференциал.
Формула Лейбница для производной n-го порядка от произведения двух функций.
Производной n-го порядка от y=sin(ax).
Биноминальные коэффициенты.
Треугольник Паскаля.
Факториал.
Нормаль. Уравнение нормали. Поднормаль.
Касательная. Уравнение касательной. Подкасательная.
Теорема Ролля.
Теорема Лагранжа.
Теорема Коши.
Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей.
Инвариантность формы первого дифференциала.

Асимптоты графика функции.
Формула Тейлора.
Остаточный член формулы Тейлора в форме Лагранжа.
Уравнение эвольвенты
Уравнение эволюты.
Определение кривизны
Формула для радиуса кривизны кривой, заданной параметрически.
Уравнение эвольвенты круга.
Уравнение циклоиды.
Достаточные условия существования экстремума
Эволюта параболы
Переходная кривая
Теорема о приращении длины дуги эволюты.
Свойство касательной к эволюте