Аналитическая геометрия
Аналитическая геометрия на плоскости
Даны координаты вершин треугольника ABC. Найти координаты точки D пересечения высоты, проведенной из вершины Vh и медианы из Vm. Определить площадь треугольников ABD и ACD.
   A( 0, -1), B( 3, 4), C( 5, 1).   Vh=C, Vm=A.
Треугольник
Запишем уравнение медианы AM
x-xA
xM-xA
 = y-yA
yM-yA
(1)
где
xA=0, yA=-1,

xM=(xB+xC)/2=4, yM=(yB+yC)/2=2.5
Запишем уравнение стороны AB
x-xA
xB-xA
 = y-yA
yB-yA
(2)
Подставим значения координат
x
3
 = y+1
5
Перепишем (2) в виде
y=(5/3)x-1.
Высота перпендикулярна AB, поэтому ее уравнение имеет вид
y=-(3/5)x+b,
где b - неизвестная пока величина. Найдем ее из условия прохождения высоты через вершину C
yC=-(3/5)xC+b,
отсюда b=1+(3/5)·5=4. Таким образом, уравнение высоты
y=-(3/5)x+4.
(3)
Решим систему (1-3), найдем координаты точки пересечения высоты и медианы xD, yD. Для определения площади треугольника ABD запишем два вектора, выходящие из вершины A
®
AB
 
 ={xB-xA, yB-yA, 0 }

®
AD
 
 ={xD-xA, yD-yA, 0 }
Найдем векторное произведение
-
c
 
 =[
-
AB
 
 ,
-
AD
 
 ]
Для плоского случая модуль векторного произведения равен
c=|cz|=|(xB-xA)(yD-yA)-(yB-yA)(xD-xA)|.
Искомая площадь равна половине модуля векторного произведения
S=0.5c.
Аналогично вычисляется площадь другого треугольника.


File translated from TEX by TTH, version 3.63.
On 04 Nov 2004, 07:13.