9 Формула Тейлора. Остаточный член в форме Лагранжа
Остаточный член ищем в форме
|
Rn(x)= |
(x-a)n+1
(n+1)!
|
Q(x) |
|
Найдем Q(x).
|
g(x)=g(a)+ |
x-a
1!
|
gў(a)+ |
(x-a)2
2!
|
g"(a)+...+ |
(x-a)n
n!
|
g(n)(a)+ |
(x-a)n+1
(n+1)!
|
Q(x) |
|
Вспомогательная функция, удовлетворяющая теореме Ролля
|
F(t)=g(x)-g(t)- |
x-t
1!
|
gў(t)- |
(x-t)2
2!
|
g"(t)-...- |
(x-t)n
n!
|
g(n)(t)- |
(x-t)n+1
(n+1)!
|
Q |
|
Найдем производную
|
Fў(t)=-gў(t)+gў(t)- |
x-t
1!
|
g"(t)+ |
2(x-t)
2!
|
g"(t)- |
(x-t)2
2!
|
g"ў(t) -... |
|
|
- |
(x-t)n-1
(n-1)!
|
g(n)(t)+ |
n(x-t)n-1
n!
|
g(n)(t)- |
(x-t)n
n!
|
g(n+1)(t)+ |
(n+1)(x-t)n
(n+1)!
|
Q |
|
или
|
Fў(t)=- |
(x-t)n
n!
|
g(n+1)(t)+ |
(x-t)n
n!
|
Q |
| (*) |
Так как F(x)=0, F(a)=0, то существует t=x, при котором
Fў(t)=0.
Из (*)
Q=g(n+1)(x).
|
Rn(x)= |
(x-a)n+1
(n+1)!
|
g(n+1)(x) |
|
x = a+q(x-a), 0 < q < 1.
2 Возрастание и убывание функций
Теорема. 1). Если функция g(x), имеющая производную на отрезке [a,b],
возрастает на этом отрезке, то gў(x) і 0 на [a,b].
2). Если функция g(x) непрерывна на отрезке [a,b]
и дифференцируема в (a,b) и gў(x) > 0, то
функция g(x) возрастает на отрезке [a,b].
3 Максимум и минимум функций
Теорема. Если дифференцируемая функция y=g(x)
имеет в точке x=x1, максимум или минимум, то gў(x1)=0.
Критические точки - значения аргумента, в которых производная обращается в 0 или
терпит разрыв.
Теорема. (Достаточные условия существования экстремума)
Пусть функция g(x) непрерывна в некотором интервале,
содержащем критическую точку x1,
и дифференцируема во всех точках интервала (кроме, м.б. x1).
Если при переходе слева направо через
x1 производная меняет знак с - на +, то при x1 функция имеет минимум.
(максимум - аналогично).
Теорема. Пусть при x=x1 gў(x1)=0, а вторая производная существует
и непрерывна, тогда если g"(x1) < 0, то
при x=x1 максимум, иначе
g"(x1) > 0 - минимум.
4 Асимптоты
Определение. Прямая называется асимптотой кривой,
если расстояние от переменной точки М кривой до этой
прямой при удалении М в бесконечность стремится к 0.
Наклонные и вертикальные асимптоты.
Наклонные:
Пример. y=(x2+2x-1)/x. Наклонная асимптота y=x+2, вертикальная
x=0.
Рис. 1
|