8 Раскрытие неопределенностей вида Ґ/Ґ
Теорема. Пусть функции g(x) и h(x) непрерывна и
дифференцируемы при всех x № a в окрестности точки a,
причем производная hў(x) не обращается в нуль и
|
|
lim
x® a
|
g(x)=Ґ, |
lim
x® a
|
h(x)=Ґ |
|
и пусть существует предел
тогда существует предел
и
|
|
lim
x® a
|
g(x)/h(x)= |
lim
x® a
|
gў(x)/hў(x)=A. |
|
Доказательство.
По теореме Коши
|
|
g(x)-g(a)
h(x)-h(a)
|
= |
gў(c)
hў(c)
|
|
|
где a < c < x
|
|
g(x)-g(a)
h(x)-h(a)
|
= |
g(x)
h(x)
|
|
1-g(a)/g(x)
1-h(a)/h(x)
|
= |
gў(c)
hў(c)
|
|
|
или
|
|
gў(c)
hў(c)
|
|
1-h(a)/h(x)
1-g(a)/g(x)
|
= |
g(x)
h(x)
|
|
| (*) |
По условию теоремы (см. определение предела)
Очевидно,
|
|
lim
x® a
|
|
1-h(a)/h(x)
1-g(a)/g(x)
|
=1 |
|
Следовательно,
|
| |
1-h(a)/h(x)
1-g(a)/g(x)
|
-1| < e |
|
или
|
1-e < |
1-h(a)/h(x)
1-g(a)/g(x)
|
< 1+e |
| (2) |
Перемножая (1) и (2), получим на основании (*)
|
(1-e)(A-e) < |
g(x)
h(x)
|
< (1+e)(A+e) |
|
ч.т.д
2 Формула Тейлора
Предположим, что функция y=g(x) имеет все производные до порядка n+1
включительно в некотором промежутке, содержащем точку x=a.
Справедлива формула
Тейлора1
|
g(x)=g(a)+ |
x-a
1!
|
gў(a)+ |
(x-a)2
2!
|
g"(a)+...+ |
(x-a)n
n!
|
g(n)(a)+Rn(a) |
|
Остаточный член ищем в форме
|
Rn(a)= |
(x-a)n+1
(n+1)!
|
Q(x) |
|
Найдем Q(x)=g(n+1)(x) (остаточный член в форме Лагранжа).
При a=0 ф-ла Тейлора называется формулой Маклорена
2
Пример. 1
|
ex=1+x+x2/2+x3/6+...+xn/n!+xn+1/(n+1)!eqx, 0 < q < 1 |
|
Пример. 2
|
sin(x)=x- |
x3
6
|
+ |
x5
120
|
+...+ |
xn
n!
|
sin(pn/2)+ |
xn+1
(n+1)!
|
sin(x+(n+1)p/2). |
|
Пример. 3
|
cos(x)=1- |
x2
2
|
+ |
x4
24
|
+...+ |
xn
n!
|
cos(pn/2)+ |
xn+1
(n+1)!
|
cos(x+(n+1)p/2). |
|
|x| < |x|.
при всех x.
На рисунке (Maple 8) видно, как с увеличением числа членов разложения функции sin(x) кривая
приближается к истинной (красного цвета)
Footnotes:
1Тейлор Брук(1685-1731) - английский математик, философ.
Ученый секретарь Лондонского королевского об-ва. В 1715
опубликовал формулу разложения функций в степенной ряд
2 Маклорен Колин (1698-1746) - шотландский математик.
Член Лондонского королевского об-ва. Ученик И.Ньютона.
|