Лекция 7.  Теоремы о дифференцируемых функциях

1. Теорема. Ролля. Если функция g(x) непрерывна на отрезке [a,b], дифференцируема во всех внутренних точках этого отрезка и на концах обращается в нуль g(a)=g(b)=0, то существует по крайней мере одна точка a < c < b в которой производная gў обращается в нуль gў(c)=0.
   Доказательство. Так как функция непрерывна на [a,b], то она имеет на этом отрезке наибольшее (M) и наименьшее значение m. Пусть g(c) - наибольшее значение.
   Отсюда
   

   g(c+Dx) - g(c) Dx Ј 0,   Dx > 0

   
   

   g(c+Dx) - g(c) Dx і 0,   Dx < 0

   Переходим к пределу и получаем одновременно gў(с) і 0 и gў(с) Ј 0, следовательно, gў(с)=0.
   Пример функции, для которой не выполняется условие теоремы, поэтому производная внутри отрезка в 0 не обращается
   

   y=1-(x2)1/3
2. Теорема. Лагранжа. Если функция g(x) непрерывна на отрезке [a,b], дифференцируема во всех внутренних точках этого отрезка, то существует по крайней мере одна точка a < c < b в которой выполняется равенство
   

   g(b)-g(a)=gў(c)(b-a)

   Доказательство. Применим теорему Ролля к функции
   

   g(x)-g(a)-(x-a)Q,

   где
   

   Q=(g(b)-g(a))/(b-a)
3. Теорема. Коши. Если функции g(x) и h(x) непрерывны на отрезке [a,b], дифференцируемы во всех внутренних точках этого отрезка, причем hў(x) № 0 внутри отрезка [a,b], то существует точка a < c < b в которой выполняется равенство
   

   g(b)-g(a) h(b)-h(a) = gў(c) hў(c)

   Доказательство. Применим теорему Ролля к функции
   

   g(x)-g(a)-(h(x)-h(a))Q,

   где
   

   Q=(g(b)-g(a))/(h(b)-h(a))
4. Теорема. Лопиталя. Пусть функции g(x) и h(x) на некотором отрезке [a,b] удовлетворяют условиям теоремы Kоши и обращаются в 0 в точке x=a, т.е. g(a)=h(a)=0, тогда если существует предел отношения gў(x)/hў(x) при x® a, то существует и
   

   lim x® a  g(x)/h(x)

   причем
   

   lim x® a  gў(x)/hў(x)= lim x® a  g(x)/h(x).