Дифференциал и производные высших порядков

6  Дифференциал и производные высших порядков

  1. Дифференциал
    dy=gў(x)Dx
    Дифференциал независимого переменного x совпадает с его приращением dx=Dx.
    Однако, Dy=dy+aDx. Свойства
    1. d(u+v)=du+dv.
    2. d(uv)=vdu+udv.
    3. d(u/v)=(vdu-udv)/v2.
  2. Инвариантность формы дифференциала. Пусть y=g(u), u=j(x) или y=g(j(x)). Тогда dy/dx=gўu(u)jў(x) и dy=gўu(u)jў(x)dx. Но jў(x)dx=du, следовательно dy=gў(u)du.
  3. Геометрическое значение дифференциала
  4. Производные различных порядков. Формула Лейбница.
    y"=(yў)ў.
    y(x)=u(x)v(x),
    yў=uўv+vўu.
    y"=u"v+2vўuў+v"u.
    y"ў=u"ўv+3vўu"+3v"uў+v"ўu.

    y(n)=(uv)(n)=u(n)v+nvўu(n-1)+ n(n-1)
    2
    		 v"u(n-2)+...+v(n)u.
  5. Дифференциалы различных порядков.
  6. Производные различных порядков от неявных и параметрически заданных функций.
    x=j(t), y=y(t).
    dy
    dx
    		 =
    Ч
    y
    Ч
    x

    d2y
    dx2
    		 = d
    dx
    Ч
    y
    Ч
    x
    		 = d
    dt
    Ч
    y
    Ч
    x
    		 dt
    dx
    		 =
    ЧЧ
    y
     
    Ч
    x
     
    		 -
    ЧЧ
    x
     
    Ч
    y
     
    (
    Ч
    x
     
    		 )3
  7. Уравнение касательной и нормали.
    y=g(x).
    Касательная
    y-y0=gў(x0)(x-x0).
    Нормаль
    y-y0= -1
    gў(x0)
    		 (x-x0).