5  Производная

1. Производная y=log_ax.
   
   

   Dy=loga(x+Dx)-loga(x)=loga(1+Dx/x)

   
   

   Dy Dx = 1 x loga ж и 1+ Dx x ц ш x/Dx

   
   

   yў= 1 x 1 lna
2. Производная сложной функции.
   Теорема. Если функция u=j(x) имеет в некоторой точке x производную uў_x=jў(x), а функция y=F(u) имеет в соответствующей точке u производную Fў_u=Fў(u), то сложная функция y=F(j(x)) в указанной точке x также имеет производную yў_x=Fў_u(u)jў(x).
3. Производная y=tg(x), y=ctg(x),
4. Производная неявной функции. Пример y²+x²=1.
5. Производная степенной функции при действительном показателе. Производная сложной показательной функции. y=u^v,
   yў=vu^v-1uў+u^vvўlnu.
6. Производная обратной функции.
   Замечание (без док.) Если возрастающая (убывающая) функция непрерывна на некотором отрезке [a,b], и f(a)=A, f(b)=B, то обратная функция определена и непрерывна на отрезке [A,B].
   

   fў(x)=1/gў(y)

   Примеры. Обратные тригонометрические функции.
7. Производная параметрически заданной функции. Примеры.
   1. Окружность. x=acost, y=asint.
   2. Циклоида. x=a(t-sint), y=a(1-cost).
   3. Астроида. x=acos³ t, y=asin³ t.