Непрерывность функций и производная

4  Непрерывность функций и производная

  1. Непрерывность.

    Функция y=f(x) называется непрерывной при x=x0, если она определена в некоторой окрестности x0 и если limDx® 0Dy=0.
    Пример. 1. Функция y=x2 непрерывна.
    Пример. 2. Функция y=sin(x) непрерывна.
    Теорема 1. Сумма функций непрерывных в точке x0 есть также непрерывная функция.
    Теорема 2. Произведение функций непрерывных в точке x0 есть также непрерывная функция.
    Теорема 3. Частное двух функций непрерывных в точке x0 есть также непрерывная функция, если знаменатель не обращается в 0.
    Теорема 4. Если u=g(x) непрерывная функция в точке x0 и f(u) непрерывная функция в точке u0=g(x0), то f ( g(x)) есть также непрерывная функция.
    Теорема 5. Всякая элементарная функция непрерывна в каждой точке, в которой она определена.
    Непрерывность на интервале. Непрерывность слева и справа. Непрерывность на замкнутом отрезке. Разрывы 1-го рода.

  2. Свойства непрерывных функций.

    Теорема 6. Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке a Ј x Ј b, то на этом отрезке найдется точка x1, такая, что f(x1) і f(x) для любого x из этого отрезка, и найдется точка x2, такая, что f(x2) Ј f(x) для любого x из этого отрезка.
    Наименьшее и наибольшее значение функции на отрезке.
    Теорема 7. Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и на концах отрезка принимает значения разного знака, то на этом отрезке найдется точка c, такая, что f(c)=0.
    Теорема 8. Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и на концах отрезка принимает значения A и B, то на этом отрезке найдется точка c, такая, что f(c)=C, если C заключено между A и B.

  3. Сравнение бесконечно малых

    Бесконечно малые одного порядка limx® 0[(b)/(a)]=A № 0.
    b - бесконечно малая высшего порядка limx® 0[(b)/(a)]=0.
    b - бесконечно малая k-го порядка относительно a limx® 0[(b)/(ak)]=A № 0.
    Эквивалентные бесконечно малые limx® 0[(b)/(a)]=1.
    Теорема 9. Если a и b эквивалентные бесконечно малые, то b-a есть бесконечно малая высшего порядка, чем a и b.

  4. Производная.

    Если существует предел

    lim
    Dx® 0 
    		 Dy
    Dx
    		 ,
    то он называется производной функции y=f(x) по аргументу x.
    Операция дифференцирования.
    Геометрическое значение производной.
    Теорема 10. Если функция дифференцируема в некоторой точке, то она непрерывна в этой точке.
    Пример . Производная y=sin(x).

  5. Производная суммы, произведения и частного.

    Производная y=xn. Доказательство методом мат.индукции.