Функции нескольких переменных

14  Функции нескольких переменных

  1. Полное приращение и полный дифференциал
    Задана функция z=f(x,y).

    Dz=f(x+Dx,y+Dy)-f(x,y)
    Предположим, что z=f(x,y) в точке (x,y) имеет непрерывные частные производные. Запишем
    Dz=[f(x+Dx,y+Dy)-f(x,y+Dy)]+[f(x,y+Dy)-f(x,y)]
    Применим теорему Лагранжа
    Dz=Dx
    f(
    -
    x
     
    		 ,y+Dy)
    x
    		 +Dy
    f(x,
    -
    y
     
    		 )
    y
    		 .
    Так как частные производные непрерывны, то при Dx® 0 и Dy® 0 имеем
    f(
    -
    x
     
    		 ,y+Dy)
    x
    		 ® f(x,y)
    x
    		 ,  
    f(x,
    -
    y
     
    		 )
    y
    		 ® f(x,y)
    y
    Выражение полного дифференциала имеет вид
    dz= f(x,y)
    x
    		 dx+ f(x,y)
    y
    		 dy.
  2. Производная сложной функции. Полная производная.
    z=F(u,v)

    u=j(x,y),  v=y(x,y)

    z=F(j(x,y),y(x,y))

    Dz= F
    u
    		 Dxu+ F
    v
    		 Dxv+g1Dxu+g2Dxv
    Делим на Dx
    z
    x
    		 = F
    u
    		 u
    x
    		 + F
    v
    		 v
    x
    Для функции w=F(z,u,v,s), где z=z(x,y), u=u(x,y), v=v(x,y), s=s(x,y), имеем
    w
    x
    		 = w
    z
    		 z
    x
    		 + w
    u
    		 u
    x
    		 + w
    v
    		 v
    x
    		 + w
    s
    		 s
    x
    		 ,

    w
    y
    		 = w
    z
    		 z
    y
    		 + w
    u
    		 u
    y
    		 + w
    v
    		 v
    y
    		 + w
    s
    		 s
    y
    		 .
    Если задана функция z=F(x,u,v), u=u(x), v=v(x), то полная производная имеет вид
    dF
    dx
    		 = F
    x
    		 + F
    u
    		 u
    x
    		 + F
    v
    		 v
    x
  3. Производная от функции, заданной неявно
    F(x,y)=0

    F(x+Dx,y+Dy)=0

    F(x+Dx,y+Dy)-F(x,y)=0

    F(x+Dx,y+Dy)-F(x,y)= F
    x
    		 Dx+ F
    y
    		 Dy+g1Dx+g2Dy,

    Dy
    Dx
    		 =-
    F
    x
    		 +g1
    F
    y
    		 +g2
    При Dx® 0 и Dy® 0
    yў=-
    F
    x
    F
    y
  4. Частные производные различных порядков
    Производные второго порядка
    2z
    x2
    		 =f"xx

    2z
    y2
    		 =f"yy

    2z
    xy
    		 =f"xy
    Аналогично, производные третьего порядка
    3z
    yx2
    		 =f"ўyxx
    Теорема. Если функция z=f(x,y) и ее частные производные fўx, fўy, f"xy и f"yx определены и непрерывны в точке M(x,y) и в некоторой ее окрестности, то
    2z
    xy
    		 = 2z
    yx
  5. Градиент
    Введем вектор (градиент)
    ®
    grad
     
    		  u={ u
    x
    		 , u
    y
    		 , u
    z
    		 }
    Производная по направлению
    (
    ®
    grad
     
    		 ,
    ®
    s
     
    		 )
    Производная по направлению имеет наибольшее значение, если направление совпадает с направлением градиента.


File translated from TEX by TTH, version 3.63.
On 10 Dec 2004, 18:28.