Комплексные числа

  Комплексные числа

Комплексные числа имеют вид z = a+ib, где a - действительная часть числа b - мнимая часть числа, i2 = - 1.
Обозначение a = Re z, b = Im z. Числа z = a+ib и
-
z
 
 = a - ib
называют сопряженными.
  • Два комплексных числа z1 = a1+ib1 и z2 = a2+ib2 равны, если равны мнимые и действительные части a1=a2 и b1=b2.
  • Комплексное число z = a+ib равно нулю, если равны нулю мнимая и действительная часть a=0 и b=0.
  • Тригонометрическая форма комплексного числа z = r(cosj+isinj)
    j - аргумент комплексного числа, r - его модуль.
    tgj = b/a
    r =
    Ц
     
    a2+b2
     
  • Сложение комплексных чисел z1 = a1+ib1 и z2 = a2+ib2 z1+z2 = a1+ib1+a2+ib2=a1+a2+i (b1+b2)
  • Умножение комплексных чисел z1z2 = a1a2-b2b1+i (b1a2+b2a1)
    z1z2 = r1r2(cos(j1+j2)+isin(j1+j2))
  • Возведение в степень комплексных чисел (формула Муавра1)
    zn = rn(cos(nj)+isin(nj)
  • Извлечение корня из комплексного числа z = r(cosj+isinj)
    z1/n = r1/n(cos j+2pk
    n
    		 +isin j+2pk
    n
    		 )
  • Показательная функция
    ex+iy = ex(cosy+isiny)
  • Показательная форма комплексного числа
    eiy = cosy+isiny

    z = r eij

  • siny= eiy-e-iy
    2i
    		 ,

    cosy= eiy+e-iy
    2

Footnotes:

1Абрахам де Муавр (1667-27.11.1754) - английский математик, родился во Франции, друг И.Ньютона. Труды по теории вероятности и теории комплексных чисел