Лекция в МГТУ МАМИ

11  Еще один способ вывода формулы для кривизны


Рассмотрим окружность, касающуюся исследуемой кривой так, что в точке касания первая и вторая производная кривой совпадает с теми же производными окружности. Найдем центр такой окружности и ее радиус.
(x-u)2+(y-v)2=R2
(*)
Дифференцируем по x
x-u+(y-v)yў=0
(1)
Еще раз дифференцируем
1+(y-v)y"+yў2=0
Находим из последнего уравнения
v=y+(yў2+1)/y"
(2)
Из (1)
u=x+yў(y-v)
откуда
u=x-(yў3+yў)/y"
(3)
Уравнения (2) и (3) - уравнения эволюты. Подставляя (2) и (3) в (*) найдем радиус кривизны
R2= (1+yў2)3

y"2

2  Радиус кривизны в полярных координатах

Запишем выражение радиуса кривизны для кривой, заданной параметрически
yў=
Ч
y
 
/
Ч
x
 
y"=(
ЧЧ
y
 
Ч
x
 
-
ЧЧ
x
 
Ч
y
 
)/
Ч
x
 
3
 
Представим полярные координаты как параметрическое задание кривой с параметром j
x=rcosjy=rsinj
Тогда
Ч
x
 
=
Ч
r
 
cosj-rsinj
Ч
y
 
=
Ч
r
 
sinj+rcosj

ЧЧ
x
 
=
ЧЧ
r
 
cosj-2
Ч
r
 
sinj-rcosj
ЧЧ
y
 
=
ЧЧ
r
 
sinj+2
Ч
r
 
cosj-rsinj.
Отсюда радиус кривизны имеет вид
R=
(r2+
Ч
r
 
2
 
)3/2

r2+2
Ч
r
 
2
 
-
ЧЧ
r
 
r
Архимед
Для спирали Архимеда r = kj получим
R = k (j2+1)3/2

j2+2
Для больших углов j имеем приближенное выражение R = kj.

3  Эволюта эллипса

Эллипс - геометрическое место точек, от которых сумма расстояний до двух фиксированных точек (полюсов) постоянна. Координаты полюсов x=±c, y=0.

Ц
 

y2+(x-c)2
 
+
Ц
 

y2+(x+c)2
 
=2a
Возводим в квадрат и упрощаем
a
Ц
 

y2+(x+c)2
 
=a2+xc
Еще раз возводим в квадрат, вводим обозначение a2-c2=b2. Получаем уравнение эллипса
(x/a)2+(y/b)2=1
Уравнение эллипса в параметрической форме
x=acosty=bsint
Радиус кривизны
R= (a2sin2t+b2cos2t)3/2

ab
.
Найдем радиус кривизны в вершинах. При t=0 имеем R=b2/a, что совпадает с фокальным параметром (x=c, y=b2/a). При t=p/2получим R=a2/b. Легко показать, что центр кривизны вершины t=0 лежит между фокусами:
a-c < b2/a.

Эволюта
Рис. 1
Эволюта
Рис. 2 Эволюта не выходит за пределы эллипса, если радиус кривизны вершины t=p/2 меньше 2b:
a2/b < 2b,  a < Ц2b.

4  Эволюта циклоиды

Уравнение циклоиды в параметрической форме
x=a(t-sint), y=a(1-cost)
Уравнение эволюты
u=a(t+sint), v=-a(1-cost)

Эволюта
Рис. 3
- циклоида (с точностью до замены переменных t ~ t-p, u ~ u-ap, v ~ v-2a).

5  Переходная кривая

Для того, чтобы между прямой и соединенной с ней окружностью r(с общей касательной в точке сопряжения) не было скачка кривизны, вызывающего скачок центробежной силы, например, для железнодорожного полотна, необходимо между прямой и окружностью вставить переходный участок. Пусть этот участок имеет форму кубической параболы y=ax3/3. Одна точка спряжения - между прямой и кривой - в начале координат, в другой точке сопряжения x0 кривизна переходной кривой и окружности совпадает
r=(1+yў2)3/2/y" = (1+a2x02)3/2/(2ax0)
Отсюда можно найти параметр a в зависимости от радиуса скругления r и места сопряжения x0.



File translated from TEX by TTH, version 3.63.
On 19 Nov 2004, 06:27.