10  Элементы дифференциальной геометрии. Кривизна. Эволюта. Эвольвента


(Ds)2=(Dx)2+(Dy)2
Переходим к пределу
ds

dx
=
Ц
 

1+yў2
 
(1)
Кривизна
Определение.
K=
lim
Ds® 0 
Dj

Ds
= dj

d s
Так как для окружности s=jR, то очевидно, K=1/R. Найдем выражение для кривизны произвольной кривой y=y(x).
dj

d s
= dj

d x
d x

ds
(2)
Так как tgj = yў то j = arctanyў. Дифференцируем
dj

d x
= y"

1+yў2
С учетом (1) и (2) получим
K= y"

(1+yў2)3/2
По определению радиус кривизны кривой R=1/K.
Эволюта
Определение. Эволюта - геометрическое место центров кривизн кривой. Введем переменные u и v - координаты точек эволюты. Совместим оси u и x, v и y.
Эволюта
Рис. 1
Из рисунка получим
u=x-Rsinj,  v=y+Rcosj
Так как tgj = yў то
sinj = yў/
Ц
 

1+yў2
 
,

cosj = 1/
Ц
 

1+yў2
 
Уравнение эволюты (в параметрической форме, параметр - x)
u=x- yў+yў3

y"
(3)

v=y+ 1+yў2

y"
Пример. Эволюта параболы y=x2, yў=2x, y"=2.
u=x- 2x+8x3

2
=-4x3

v=x2+ 1+4x2

2
=3x2+0.5

Эволюта параболы
Рис. 2
Теорема. Касательная к эволюте есть нормаль к кривой (эвольвенте).
Доказательство. Найдем касательную к кривой (3). Вычислим
dv

du
= dv/dx

du/dx
 

dv

dx
=yў+ 2yўy"2-y"ў(1+yў2)

y"2
= 3yўy"2-y"ў(1+yў2)

y"2
(4)

du

dx
=1- y"2(1+3yў2)-y"ўyў(1+yў2)

y"2
=-yў 3yўy"2-y"ў(1+yў2)

y"2
(5)
Отсюда
dv

du
=- 1

yў
Теорема. На участке с монотонным изменением кривизны приращение дуги эволюты равно приращению радиуса кривизны кривой.
Доказательство. На основании (4) и (5) найдем квадрат производной от длины дуги эволюты
ж
и
dS

dx
ц
ш
2

 
= ж
и
dv

dx
ц
ш
2

 
+ ж
и
du

dx
ц
ш
2

 
= (1+yў2) ж
и
3yўy"2-y"ў(1+yў2)

y"2
ц
ш
2

 
.
(6)
С другой стороны квадрат радиуса кривизны кривой
R2= (1+yў2)3

y"2
Дифференцируем
2RRў= 6(1+yў2)2yўy"3-2y"y"ў(1+yў2)3

y"4
Упрощаем
RRў= 3(1+yў2)2yўy"2-y"ў(1+yў2)3

y"3
=(1+yў2)2 3yўy"2-y"ў(1+yў2)

y"3
.
Возводим в квадрат
R2Rў2=(1+yў2)4 (3yўy"2-y"ў(1+yў2))2

y"6
.
Подставляем R2 и получаем
Rў2=(1+yў2) (3yўy"2-y"ў(1+yў2))2

y"4
.
(7)
Сравнивая (6) и (7), убеждаемся
ж
и
dS

dx
ц
ш
2

 
= ж
и
dR

dx
ц
ш
2

 
или
dS

dx
=± dR

dx
На участке монотонного изменения кривизны (увеличения)
dS

dx
= dR

dx
По теореме Коши
S1-S0

R1-R0
= Sў

Rў
=1
или S1-S0=R1-R0 ч.т.д
На рис.2 длина дуги AB равна разности радиусов AA'-BB'.

Выведем уравнение эвольвенты окружности.
Эвольвента окружности
Рис. 3

Найдем координаты точки М.

x=Rcosj+Rjsinj
y=Rsinj-Rjcosj

Эвольвента на рисунке выделена красным цветом.