Лекция 6

Кольцо, поле

1. Пусть K есть непустое множество, на котором заданы две бинарные операции: + (сложение) и (умножение), удовлетворяющие следующим условиям:
   1. структура (K, + ) является абелевой (коммутативной) группой;
   2. структура (K,·) есть полугруппа;
   3. операции сложения и умножения связаны законом дистрибутивности:(a + b) · c = a ·c + b ·c и c ·(a +b) = c ·a + c ·b для любых a,b,c О K.
   Алгебраическая структура (K, + ,·), подчиненная этим требованиям, называется кольцом. При этом структура (K, + ) называется аддитивной группой кольца, а структура (K,·) называется его мультипликативной полугруппой.
2. Кольцо (K, + ,·) называется полем, если выполняются следующие условия:
   1. структура (K, + ,0 ) - абелева группа; структура (K\{0},·, 1) - коммутативная группа;
   2. выполняется закон дистрибутивности a ·(b + c) = a ·b + a ·c для любых a,b,c О K.
3. Теорема. Кольцо классов вычетов ( Z_m, + ,·) тогда и только тогда является полем, когда m есть простое число.