Алгебраические структуры (продолжение)
- Моноид ( X , * , e ), у которого для каждого элемента x О X существует обратный элемент x - 1 О X, называется группой.
- Четыре аксиомы, которым удовлетворяет группа.
- Мультипликативная и аддитивная группа.
- Группа с коммутативной бинарной операцией называется коммутативной или абелевой.
- Непустое подмножество H М G называется подгруппой группы G, если для любых
h 1 ,h 2 О H элемент h 1 *h 2 О H и для любого h О H элемент h - 1 О H.
- Подгруппа H, отличная от E и G, называется собственной подгруппой группы G.
- Таблица Кэли. Каждый столбец (строка) таблицы Кэли содержит все элементы группы.
- Симметрической группой Sn называется множество всех биективных отображений множества X на
себя, снабженное бинарной операцией композиции отображений.
- Циклическая группа содержит все возможные целые степени одного и того же
элемента a.
- Если циклическая группа содержит только элементы e, a, a2,ј, an, то такую циклическую группу называют конечной (Card G = n). Если же для
любого натурального n все степени an различны, то G называется
бесконечной циклической группой.
- Сравнение по модулю m является отношением эквивалентности.
- Группы G и H называются изоморфными (обозначение G @ H), если существует
биективное отображение f: G ® H, "сохраняющее" групповую операцию,
т.е.f(x * y) = f(x) °f(y).
- Три свойства изоморфизма.
- Теорема. Кэли. Любая конечная группа порядка n изоморфна некоторой подгруппе
симметрической группы Sn (без доказательства).
- Теорема. Любая циклическая группа
порядка m изоморфна группе Zm классов вычетов по
модулю m(без доказательства).
|
